Придумал задачу

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте. Есть $n$-мерная клетка. В нее случайным образом ставится $k$ точек. Назовем (условно) радиусом точки расстояние от нее до самой близжайшей. Нужно найти ожидание радиуса по всем точкам.

[worm2]

Частный случай $k=2$.

[ozheredov]

Euler-Maskerony
ИМХО, лучше искать наивероятнейшее значение - меньше возни, практическая значимость примерно та же.
worm2
Вангую, что красивый результат будет именно при очень большом числе точек

[Euler-Maskerony]

ozheredov в сообщении #1544058 писал(а):

Euler-Maskerony
ИМХО, лучше искать наивероятнейшее значение

А почему это не одно и то же?
upd: Я разобрался. Это то которое будет входить в ожидание с наибольшим весом. А как его искать?

[ozheredov]

Euler-Maskerony в сообщении #1544127 писал(а):

А как его искать?

Надо зафиксировать одного. И нарисовать вокруг него сферический слой радиуса $r$ толщиной $dr$. Дифференциал условной плотности расстояния до ближайшего соседа $p(r)dr$ - это (грубо) вероятность того, что один внутри сферического слоя (расстояние от $r$ до $r+dr$), а остальные - с внешней стороны сферы (это не считая того, который в центре). Если точек много, плотность падает в ноль на длине много меньше ребра куба, поэтому краевыми эффектами можно пренебречь )) Ну и дальше по формуле полной вероятности.

[xagiwo]

ozheredov в сообщении #1544058 писал(а):

Вангую, что красивый результат будет именно при очень большом числе точек

Я, конечно, обсчитался, но у меня выходит при $k^{\frac1n}$ во много раз больше $n$

$$\frac{\Gamma(\frac{n+1}{n})}{\sqrt[n]{c_n}}k^{-\frac1n}$$

, где $c_n$ — объём $n$-мерного единичного шара. То есть ничего проще, чем $k^{-\frac1n}$ умножить на хз какую константу, что и так угадывалось — ничего красивого

[ozheredov]

xagiwo
А покажите выражение для плотности

[xagiwo]

ozheredov

$$kc_n nr^{n-1} e^{-kc_nr^n}$$

, если я правильно понял, какую плотность вы просите

[ozheredov]

xagiwo
Плотность распределения расстояния между любой точкой и ее ближайшим соседом. А откуда взялась экспонента?

[xagiwo]

ozheredov Как приближение к $(1-c_nr^n)^k$. При малых $r$ вероятность в шаре радиуса $r$ найти заранее заданную точку — $c_n r^n$, а вероятность не найти никакую — $(1-c_nr^n)^k$

[ozheredov]

xagiwo
Не нужно это приближать экспонентой - продифференцируйте и найдите максимум у того, что есть. А в конце можно будет кое-что отбросить ввиду малости, если я не ошибаюсь

-- 25.12.2021, 17:35 --

P.S. Хотя в принципе ответ Вы и так получили

-- 25.12.2021, 17:38 --

P.P.S.

xagiwo в сообщении #1544194 писал(а):

что и так угадывалось

Да, если ответ совпадает с интуитивно угадываемым, это и есть частный случай красивых ответов. Если, разумеется, его нельзя посчитать устно и в два действия. Здесь нельзя

[xagiwo]

Забавная (и отвратительная) штука: в некоторых (сейчас не вспомню) школьных задачниках по физике есть задача о том, чтобы найти среднее расстояние между соседними (так и написано — соседними) молекулами газа с авторским решением — найти число молекул газа $k$, объём газа $V$ и воспользоваться "очевидной" формулой $\sqrt[3]{\frac{V}{k}}$.

Учитывая то, что $\sqrt[n]{c_k} \approx \sqrt\frac{2\pi e}{n}$ (если я не обсчитался), эта "очевидная" формула (обощённая как $\sqrt[n]{\frac{V}{k}}$) при больших размерностях расходится с реальной во много раз

[ozheredov]

xagiwo
++ Помню такую задачку. 1. Физики очень любят метод размерностей, который сам по себе жуткое зло. "очевидная формула" получается как раз из него. 2. Если физик обсчитался не более чем на два порядка - то и хорошо ))