Тензор энергии-импульса в пустоте

[kzv]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста разобраться в выводе двух формул ЛЛ-т2.
Первая формула: закон Ньютона. В самом начале параграфа 99 (формула 99.1), для вывода закона предлагается взять тензор энергии-импульса в виде $T^0_0=\mu c^2$, взять нулевую компоненту тензора Риччи и подставить эти две величины в уравнение Эйнштейна.
Вторая формула: выражение для метрики Шварцшильда. Тут тоже ищутся компоненты тензора Риччи, но потом говорят: "Уравнения (100.4-7) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметричного поля в пустоте". На этом основании, тензор энергии-импульса берется равным нулю.

Вопрос такой: все-таки чему равен тензор энергии-импульса в пустоте? Все компоненты тензора равны нулю или, как минимум нужно учитывать $T^0_0=\mu c^2$, чтобы итоговая формула хотя бы Ньютоновскую гравитацию описывала?

[realeugene]

kzv в сообщении #1543692 писал(а):

Вопрос такой: все-таки чему равен тензор энергии-импульса в пустоте?

В пустоте $\mu=0$, как и все напряжения, ТЭИ всегда нулевой. Ньютоновская гравитация должна учитывать области пространства с материей, в них $\mu\ne 0$, другие компоненты ТЭИ пренебрежимо малы в ньютоновском пределе. Решение Шварцшильда - симметричное решение для внешности границы в виде сферы, ТЭИ вне сверы всюду нулевой. Оно для нулевого ТЭИ единственное симметричное решение. Уже для сферически симметричного распределения материи решение более сложное, но вне любой ограничивающей сферы решение единственно.

[kzv]

realeugene в сообщении #1543702 писал(а):

Ньютоновская гравитация должна учитывать области пространства с материей

Не понимаю я этого.
Получается, что Ньютоновская формула выводится для гравитации внутри какого-то массивного тела что ли?

[realeugene]

kzv в сообщении #1543720 писал(а):

Получается, что Ньютоновская формула выводится для гравитации внутри какого-то массивного тела что ли?

Не обязательно "внутри". Но наличие каких-то гравитирующих тел всё же обязательно.

[kzv]

realeugene в сообщении #1543754 писал(а):

kzv в сообщении #1543720 писал(а):

Получается, что Ньютоновская формула выводится для гравитации внутри какого-то массивного тела что ли?

Не обязательно "внутри". Но наличие каких-то гравитирующих тел всё же обязательно.

А, кажется понял, то есть получается, что Ньютоновская формула выводится для пробного тела с ненулевой массой, а метрика Шварцшильда для полностью пустого пространства, где даже у пробного тела нет массы. Правильно?

[sergey zhukov]

kzv
Решение Шварцшильда справедливо вне любой центрально симметричной массы (в вакууме вокруг нее). Внутри этой массы метрика пространства-времени уже другая (не описывается решением Шварцшильда). Это решение (Шварцшильда) не обязательно связано именно с черной дырой. Это просто решение вне центрально-симметричного тела.

У Ньютона (где роль метрики играет гравитационный потенциал) то же самое: вне массивного тела этот потенциал зависит только от массы центрального тела и расстояния до центра (а не от его радиуса или радиального распределения плотности), внутри же тела его зависимость другая. Это имеется ввиду, когда говорят, что "можно проинтегрировать в вакууме": вне тела зависимость проще, чем внутри. Внутри тела появляется ТЭИ, который сложно зависит от состояния материи (тут еще до конца даже нет полной ясности, поскольку не совсем точно известно уравнение состояния вещества при условиях, скажем, в нейтронной звезде). У Ньютона те же проблемы: чтобы подсчитать гравитационный потенциал внутри массы, мы должны знать уравнение состояния вещества (как плотность зависит от давления). Т.е. как плотность возрастает с глубиной. Если этого не знать, гравитационный потенциал внутри массы не найти.

Для черной дыры получается нулевой ТЭИ везде, кроме точки сингулярности, где он не может быть корректно определен. Это нечто вроде случая плотности точечной массы в классической механике: она равна нулю везде, кроме центральной точки, где она бесконечна.

Масса пробного тела в этом вопросе ни при чем (пока она мала, т.е. пока это можно считать действительно пробным телом). Примерно это соответствует тому приближению в механике Ньютона, что орбита планеты не зависит от массы легкого спутника (только от массы центрального тела).

Пробное тело по определению движется по геодезической для решения, в котором учитывается только центральное тело. Т.е. оно просто "подсвечивает" геодезические этого решения, но само не оказывает влияния на них. Это приближение. На самом деле спутник должен учитываться, и он вносит вклад в метрику пространства-времени. Причем у Ньютона все просто: гравитационные потенциалы спутника и центрального тела просто складываются и решение линейно. В ОТО компоненты метрики так просто не складываются. Суммарное решение не есть сумма отдельных решений.

[kzv]

sergey zhukov
Тогда возвращаемся в вопросу в первом сообщении: почему при выводе закона Ньютона из уравнений Эйнштейна, Ландау учитывает ТЭИ? Если этот закон не для гравитации внутри тела, то ТЭИ же должен быть строго нулевым, как в выводе Шварцшильда?

[sergey zhukov]

kzv
Формула (99.1) говорит, что ТЭИ в ньютоновском пределе вырождается в одну из своих компонент и она пропорциональна плотности массы в данной точке (т.е. он просто переходит в обычную плотность). А метрический тензор вырождается в одну из своих компонент и становится пропорциональным гравитационному потенциалу (т.е. становится гравитационным потенциалом). Уравнение Эйнштенйна дает тогда, что дивергенция гравитационного потенциала в данной точке есть плотность массы в ней. Это дифференциальное выражение закона гравитации Ньютона, справедливое в общем случае распределения материи. Чтобы отсюда получить, скажем, центрально-симметричное поле гравитационного потенциала, нужно проинтегрировать это уравнение для центрально-симметричного распределения плотности (т.е. $\mu$ по пространству будет переменным) .

Далее, в параграфе 100, уже рассматривается точное решение для центрально-симметричного случая (без приближений). Причем сказано, что проинтегрировать полученные уравнения можно только там, где $T=0$ т.е. в области пустоты (там, где $T\ne 0$, эти уравнения проинтегрировать сложнее). Это и значит, что можно относительно легко найти $g$ только вне центрально-симметричной массы. Когда говорят "положим $T=0$", то это значит, что рассматривается область центрально-симметричного случая, где $T=0$. Но всегда еще остается область, где он либо не равен нулю, либо есть сингулярная точка.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1543826 писал(а):

Далее, в параграфе 100, уже рассматривается точное решение для центрально-симметричного случая (без приближений). Причем сказано, что проинтегрировать полученные уравнения можно только там, где $T=0$ т.е. в области пустоты (там, где $T\ne 0$, эти уравнения проинтегрировать сложнее).

Вот у меня и возникает закономерный вроде бы вопрос: почему в выводе Шварцшильда не сделать хотя бы такое же грубое допущение, как в формуле (99.1). Там вроде бы не особо сложней уравнение получится, но итоговое решение будет хотя бы Ньютоновскую гравитацию описывать. А так получается вообще полная абстракция какая-то. Физика в выводе Шварсшильда возникает только когда постоянную интегрирования ищут из условия стремления потенциала к Ньютоновскому на бесконечности...

[sergey zhukov]

kzv
Ньютоновская гравитация уже была получена в параграфе 99. Зачем ее еще раз тут выводить? Здесь ищется именно точное решение.

При выводе точной метрики в центрально-симметричногом случае (за ньютоновским пределом, т.е. без приближений) мы получаем сложные дифференциальные уравнения, с которыми не знаем как быть. Далее мы замечаем, что если взять следующий центрально-симметричный случай - компактная масса в вакууме (это частный случай, в общем же случае вещество может быть всюду) - то эти уравнения именно в вакуумной области проинтегрировать можно, что и дает метрику Шварцшильда. Просто внутри этой компактной массы мы не знаем, как точно решать уравнения. А снаружи - знаем. Тут все совершенно физично. Это полностью соответствует поиску гравитационного потенциала вокруг сферической массы у Ньютона.

Когда мы нашли решение вне тела, можем теперь увеличивать его плотность (т.е. уменьшать радиус при неизменной массе) вплоть до бесконечности. Тогда получаем вакуумное решение везде, кроме одной точки. У Ньютона мы получаем точечную массу, а в ОТО - черную дыру.

Когда ищут постоянную интегрирования, то просто используют тот факт, что она уже нам известна из ньютоновской гравитации. Т.е. мы ее уже измерили, зачем же еще раз мерить?

Вообще тут, по моему, все очень даже ясно. Аналогия с такой же ньютоновской задачей совершенно полная. У Ньютона можно поставить задачу: найти гравитационный потенциал для сферической массы. Мы пишем дифференциальное уравнение для потенциала $\operatorname{div}\varphi=\rho$ и замечаем, что вне тела в вакууме это уравнение особенно простое $\operatorname{div}\varphi=0$, и его легко решить. А внутри тела оно сложное, т.к. $\rho$ зависит от радиуса неизвестным образом, и нам нужно знать, как плотность зависит от давления. Это все уже заметно сложнее, т.к. решение начинает зависеть не только от массы, но и от других свойств вещества (от его уравнения состояния).

В ОТО решается совершенно та же задача, и при этом возникает совершенно та же трудность.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1543911 писал(а):

При выводе точной метрики в центрально-симметричногом случае (за ньютоновским пределом, т.е. без приближений) мы получаем сложные дифференциальные уравнения, с которыми не знаем как быть.

Если следовать логике параграфа 99, то в формулу (100.6) вместо нуля надо подставлять такой же ТЭИ, как в формуле (99.1). Получится уравнение:
$\frac{8\pi k}{c^4}\mu c^2=-e^{-\lambda}(\frac{1}{r^2}-\frac{\lambda'}{r})+\frac{1}{r^2}$

Однако в формулу (100.6) подставляется именно ноль, на основании того, что решение ищется для поля в пустоте. Но на том же самом основании, ноль тогда надо и в формулу (99.1) подставлять, разве нет?
С подстановкой нуля в (99.1) есть проблема: тогда в параграфе 99 не получится формулу Ньютона получить. Но тогда с чего мы взяли, что подстановка нуля в (100.6) - в принципе может давать Ньютоновские результаты?

Выводы в этих двух параграфах наводят на мысли о каком-то манипулировании, подгонке решения под известные результаты. В параграфе 99 мы знаем, что должна получиться формула Ньютона и подставляем ненулевой ТЭИ, чтобы результат сошелся с ответом. В параграфе 100 нам формула Ньютона не нужна, но очень хочется проинтегрировать уравнения до конца и мы подставляем везде нулевой ТЭИ. Правильно я логику понимаю?

[sergey zhukov]

kzv в сообщении #1543914 писал(а):

Однако в формулу (100.6) подставляется именно ноль, на основании того, что решение ищется для поля в пустоте. Но на том же самом основании, ноль тогда надо и в формулу (99.1) подставлять, разве нет?

Ну так и подставьте. Получается в общем $\operatorname{div}\varphi=0$. Это дифференциальное уравнение, которое можно решить, если задать граничные условия. Означает ли оно, что обязательно везде $\varphi=const$? Конечно, нет. Это только одно из решений, если граничные условия положить $\varphi=const$.

Нам ничего не мешает взять сферу, задать на ней $\varphi=const$, а на бесконечности задать $\varphi=0$ и тогда уравнение $\operatorname{div}\varphi=0$ дает гравитационный потенциал вокруг сферической массы в вакууме.

В решении для метрики Шварцшильда делается почти то же самое. Берется ОТО-аналог уравнения $\operatorname{div}\varphi=0$ и делается так, чтобы на бесконечности оно сошлось с решением Ньютона. Тут нам, правда, не известо, чему оно должно быть равно на сферической границе, но условие на бесконечности оказывается достаточным.

[kzv]

sergey zhukov
В принципе понял. Спасибо. Только там не дивергенция, а Лапласиан.

[sergey zhukov]

kzv
Действительно, ерунду написал. Это $\operatorname{div} g=\rho$, где $g$ - ускорение свободного падения. И при этом $g=(\frac{d\varphi}{dx}, \frac{d\varphi}{dy}, \frac{d\varphi}{dz})$. Это я напутал, да.
Имел ввиду, конечно, $\Delta \varphi=\rho$