Открытие неевклидовой геометрии

[sergey zhukov]

iifat
Да, конечно. Остальные постулаты, в общем, тоже не гарантированы от пересмотра в той области, в которой у нас нет опыта. Если бы даже удалось вывести пятый постулат из четырех предыдущих, мы все равно не могли бы сказать определенно, что эти четыре выдержат проверку новым опытом. Это, конечно, ниоткуда не следует.

xagiwo в сообщении #1543737 писал(а):

Прямые необычные, а понятие параллельности для них обычное

А какое, кстати, понятие параллельности для прямых на сфере? Какие прямые на сфере считаются параллельными?

[mihaild]

iifat в сообщении #1543824 писал(а):

Ну я ж говорил — очередная ересь не заставит себя ждать

А что еретического? Если взять например римановы многообразия и формализовать исходное утверждение до чего-то вроде "на участках малого размера отличия всевозможных численных характеристик - суммы углов, всяких площадей и т.д. - от получающихся в евклидовой геометрии малы".

[xagiwo]

sergey zhukov в сообщении #1543827 писал(а):

А какое, кстати, понятие параллельности для прямых на сфере? Какие прямые на сфере считаются параллельными?

Полагаю, те, которые не пересекаются.

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1543859 писал(а):

Полагаю, те, которые не пересекаются.

Насколько я знаю, нет.

[xagiwo]

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #1543860 писал(а):

Насколько я знаю, нет.

Это в гиперболической геометрии -- не всегда (точнее, там пары непересекающихся прямых делятся на "ультрапараллельные" и "ассимптотически параллельные" и вторые иногда называют просто параллельными (да, я прочитал это в Википедии)).
В сферической геометрии, честно говоря, не уверен. Нужно спросить экспертов по определению понятия параллельности в сферической геометрии, если такие найдутся.

-- 21.12.2021, 20:05 --

Я спросил бы у ТС, что он имеет ввиду под геометрией

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1543827 писал(а):

А какое, кстати, понятие параллельности для прямых на сфере?

По рабоче-крестяски, я полагаю что это какое-то локальное понятие должно быть (в радиусе много меньше радиуса сферы), как выше упоминалось. Ну типа сумма внутренних односторонних углов с секущей равна развернутому. Или на каком-то малом интервале (в пределе - на нулевом) [кратчайшее] расстояние между линиями не меняется.

[Sinoid]

Насколько я понимаю, в сферической геометрии параллельные прямые - это окружности любых двух различных больших кругов этой сферы. Диаметрально противоположные точки пересечения этих кругов являются аналогами несобственных точек прямых на плоскости.

[iifat]

Sinoid в сообщении #1543860 писал(а):

Насколько я знаю, нет

Насколько я помню, таки да. Параллельные прямые — те, что не пересекаются. И да, таковых в геометрии Римана нет, что никак не влияет на понятия.

Sinoid в сообщении #1543885 писал(а):

Диаметрально противоположные точки пересечения этих кругов являются аналогами несобственных точек прямых на плоскости

... а поскольку через каждую точку сферы можно провести не две даже, а бесконечное количество больших кругов, пространство Римана, по-вашему, состоит исключительно из особых точек?

[Sinoid]

iifat в сообщении #1543888 писал(а):

пространство Римана,

Вы имеете ввиду сферу Римана?

[iifat]

Сфера Римана, как понимаю, один из примеров пространства Римана. Параллельных, то бишь, непересекающихся прямых нет, как понимаю, в геометрии, построенной на аксиомах Римана. Собственно, пятый постулат системы аксиом именно обэтом и говорит. А что?

[пианист]

Именем Римана названо много объектов, что может создавать путаницу.
Вот, из вики: геометрия Римана, Риманова геометрия, Риманова поверхность, сфера Римана.
Все это различные понятия.

[iifat]

Да. Судя по Википедии, сфера Римана имеет достаточно отдалённое отношение что к геометрии Римана, что к геометрии вообще

[Sinoid]

Нет, а я говорил про описанную у Четверухина центральную проекцию плоскости с центром в центре сферы на нижнюю полусферу этой сферы. При этом сфера касается плоскости. Тогда прямые проецируются в большие полукруги, а экватор, параллельный плоскости, служит образом несобственной прямой этой плоскости. 2 диаметрально противоположные точки этого экватора принимаются за одну. Тогда семейство прямых плоскости, параллельных данной прямой этой плоскости, будет проецироваться в полукруги, проходящую через пару диаметрально противоположных точек этого экватор, соответствующих данной прямой. Но, да, я сказал немного другое. Я просто думаю, что то, что сказано у Четверухина, можно немного подшаманить и получится то, что сказал я.

[zykov]

Sinoid
Эта конструкция соответствует проективной геометрии. Кривизна и Риман тут не при чём.
Там аксиома номер 2: "любые две прямые пересекаются".

[Sinoid]

zykov в сообщении #1543926 писал(а):

Кривизна и Риман тут не при чём.

Так я и не говорил про них. Я хотел сказать про параллельность на сфере.