Зачем в преобразовании Фурье используют и косинус, и синус

[koliakrasnoff]

Здравствуйте участники! Вот зачем в преобразовании Фурье используется две функции - косинус и синус.
Ведь косинус - это всего-навсего сдвинутый синус. Не является ли это избыточным?

[Pphantom]

Вообще-то там только экспонента используется.

А если серьезно - ну да, можно обойтись только одной тригонометрической функцией. Но неудобно для использования.

[wrest]

koliakrasnoff в сообщении #1543396 писал(а):

Вот зачем в преобразовании Фурье используется две функции - косинус и синус.

Потому, что они ортогональны.

[B@R5uk]

koliakrasnoff в сообщении #1543396 писал(а):

Вот зачем в преобразовании Фурье используется две функции

Не всегда. Есть, например, Дискретное косинусное преобразование, в нём только косинус используется.

koliakrasnoff в сообщении #1543396 писал(а):

зачем

Преобразование по своей задумке должно быть обратимо. А для этого система функций должна быть полной. Одни только синусы или только косинусы в общем случае либо не дадут полной системы функций, либо эта система не будет ортогональной. Ну и пара синус-косинус несёт в себе не только информацию об амплитуде заданной гармоники, но и о её фазе:

$$A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)=C\sin(\omega t+\varphi)$$

[Евгений Машеров]

Косинус чётная функция, синус нечётная. Сумма чётных функций - чётная функция, сумма нечётных - нечётная. То есть разложение по синусам возможно только для нечётных функций, по косинусам - только для чётных.
Однако возможно использовать разложение, например, только по косинусам, делая из отрезка сигнала вдвое более длинный, но при этом чётный (приравнивая $x_{-i}=x_i$). Это известно под названием "косинус-преобразование" и используется, например, в стандарте сжатия данных JPEG. Аналогично можно использовать $x_{-i}=-x_i$, получая нечётную функцию и соответственно синус-преобразование. Практически оно оказывается менее востребовано, чем косинус, поскольку у косинус-преобразования крайние точки "стыкуются", нет разрыва и убывание коэффициентов более быстрое (а для сжатия с потерями это очень ценно).
Ещё один подход к "унификации" даёт преобразование Хартли, где разложение ведётся по введённой им функции $cas(x)=\sin(x)+\cos(x)=\sqrt 2\sin(x+\frac \pi 4)=\sqrt 2\cos(x-\frac \pi 4)$
При этом надо заметить, что сокращение номенклатуры используемых функций не сокращает числа коэффициентов, их столько же, сколько и в Фурье.

[zykov]

Но лучше раскладывать по $e^{ix\omega}$ и $e^{-ix\omega}$.
Можно оставить только один из них полагая, что $\omega$ может быть как положительной, так и отрицательной.