Псевдо унитарная матрица

[TelmanStud]

xagiwo
Спасибо да.
Единичный как я понимаю в смысле $v^\dagger Q v=1$. Было бы вообще шикарно если такие матрицы $А$ будут инволюцией, тогда обратного преобразования строить не надо.
Надо бы проверить.

[zykov]

Любая квадратичная форма приводится выбором базиса к каноническому виду, где на диагонали только либо ноль, либо плюс/минус один.
Это сочетание плюс единиц, минус единиц и нулей называется сигнатурой.
Если сигнатура - только плюс единицы, то такую квадратичную форму можно использовать для задания евклидова скалярного произведения.
Если сигнатура как тут - часть плюс единиц, часть минус единиц, то такая квадратичная форма задаёт псевдоевклидово скалярное произведение.
(Смотри например трёхтомник Кострикина "Введение в алгебру", том 2, глава 4 "аффинные и евклидовы точечные пространства", параграф 4 "пространства с индефинитной метрикой", часть 2 "псевдоевклидовы движения".)


-- 17.12.2021, 13:43 --

Собственно, как унитарная матрица задаётся соотношением $U^* \cdot E \cdot U=E$, так Ваша матрица $A$ задаётся соотношением $A^* \cdot Q \cdot A = Q$.

[zykov]

Вот как попроще задать унитарную матрицу?
Уж проще $U^* U=E$ некуда.
Можно конечно расшифровать, что столбцы матрицы имеют единичную норму и взаимно-ортогональны.

Так и тут, проще чем $A^* Q A=Q$ не задать.
Тоже можно расшифровать, что столбцы матрицы имеют норму один или минус один и взаимно-ортогональны в соответствии с этим псевдоскалярным произведением.

А что значит найти $A$? Найти базис где форма имеет канонический вид? Так она имеет этот вид в исходном базисе.
Найти какой-то другой базис? Так их много разных.

[xagiwo]

zykov Как я понял, нужен способ попроще получать побольше разных "унитарных" матриц (что-то типа записываем в формулу набор чисел и получаем ортогональную матрицу)

[mihiv]

Или задать матричные элементы матриц $A$ в виде известных непрерывных функций $r$ вещественных параметров, подобно тому как, это можно сделать, например, для унитарных матриц 2-ого порядка: $\begin {pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end {pmatrix}(r=1)$

[zykov]

mihiv
Попробуйте задать так для унитарной (или хотя бы действительной ортогональной) произвольного порядка $n$.
Вот то же и у ТС.

-- 17.12.2021, 16:22 --

Просто вот есть задача найти базис, в котором данная квадратичная форма канонична, если в исходном базисе она не канонична. Тут всё понятно.
Или есть например 10 каких-то векторов в сто-мерном пространстве, нужно найти ортогональный базис в их подпространстве. Тут тоже понятно.
А что надо ТС - не понятно.