Индексы подгрупп конечно заданной группы

[sour]

mihaild

$G=S_3$
$H=\{e,(12)\}$

$(13)H=(132)H=\{(13),(132)\}=C$
$(23)H=(123)H=\{(23),(123)\}=A$
$(12)H=eH=\{e,(12)\}=B$

Смежные классы остаются на месте при умножении на $e$.
При умножении на $(13)$ $C$ и $B$ меняются местами.
При умножении на $(23)$ $A$ и $B$ меняются местами.
При умножении на $(12)$ $A$ и $C$ меняются местами.
При умножении на $(123)$ $A$ переходит в $C$, $B$ переходит в $A$, а $C$ переходит в $B$.
При умножении на $(132)$ $A$ переходит в $B$, $B$ переходит в $C$, а $C$ переходит в $A$.
~~~~~~~~~~~~~~~~~
$G=S_3$
$H=\{e,(13)\}$

$(13)H=eH=\{(13), e\}=A$
$(23)H=(132)H=\{(23),(132)\}=B$
$(12)H=(123)H=\{(12),(123)\}=C$

Смежные классы остаются на месте при умножении на $e$.
При умножении на $(13)$ $C$ и $B$ меняются местами.
При умножении на $(23)$ $A$ и $B$ меняются местами.
При умножении на $(12)$ $A$ и $C$ меняются местами.
При умножении на $(123)$ $A$ переходит в $C$, $B$ переходит в $A$, а $C$ переходит в $B$.
При умножении на $(132)$ $A$ переходит в $B$, $B$ переходит в $C$, а
$C$ переходит в $A$.
~~~~~~~~~~~~~~
Т.е. элементы группы одинаково переставляют смежные классы. Гомоморфизм отобразит их на перестановки на $\{A, B, C\}$, каждому элементу будет соответствовать одна и так же перестановка смежных классов для обеих подгрупп. Т.е. получается, что гомоморфизмы для них совпадают.

[mihaild]

Нельзя сказать, что гомоморфизмы для них совпадают, потому что гомоморфизмы действуют в разные группы. То что вы построили между этими группами изоморфизм, не делает гомоморфизмы одинаковыми.

Среди смежных классов каждый раз есть выделенный - совпадающий с самой группой (тот класс, в который попал нейтральный элемент). Для каждого из гомоморфизмов посмотрите, какие элементы $G$ оставляют на месте этот смежный класс.

[sour]

mihaild
На месте оставляют такой смежный класс элементы, принадлежащие самой подгруппе.

[mihaild]

Правильно.
Таким образом каждая подгруппа задает гомоморфизм в группу перестановок смежных классов, причем по этому гомоморфизму группа восстанавливается однозначно (как стабилизатор смежного класса, содержащего нейтральный элемент).
Теперь пронумеруем смежные классы. Это нельзя сделать однозначно, но можно сделать конечным числом способом. Такая нумерация дает нам гомоморфизм из $G$ в $S_j$, по которому, как вы уже заметили, $H$ восстановить нельзя. Но может быть по нему можно построить конечный набор подгрупп $G$, в который $H$ точно попадет?

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1542985 писал(а):

sour в сообщении #1542975 писал(а):

Но у нескольких подгрупп может быть одна и та же группа перестановок их смежных классов под воздействием элементов из $G$

Группа перестановок - может. А вот может ли у них быть один и тот же гомоморфизм?

Не совсем вник, про что сейчас речь, но вы случайно не это имеете в виду:

$$\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_7)=\operatorname{Aut}(\mathbb Z_7\rtimes\mathbb Z_3)=\operatorname{Aut}(G_{42})=G_{42}=\langle\;a,b\;|\;a^7=b^6=e,ab=ba^3\;\rangle$$

$$\operatorname{Dih}_7,\;\mathbb Z_7\rtimes\mathbb Z_3\triangleleft G_{42}$$

Или такой пример (здесь тоже косое произведение существует в единственном экземпляре):

$$\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_{11})=\operatorname{Aut}(\mathbb Z_{11}\rtimes\mathbb Z_5)=\operatorname{Aut}(G_{110})=G_{110}=\langle\;a,b\;|\;a^{11}=b^{10}=e,ab=ba^6\;\rangle$$

[sour]

mihaild
Гомоморфизмов из $G$ в $S_j$ в принципе конечное число, все их можно найти, отобразив множество образующих на $S_j$ всеми возможными способами и посмотрев, какие из этих отображений являются гомоморфизмами.
После этого надо посмотреть, какие элементы отображаются в такие перестановки из $S_j$, которые оставляют на месте какой-нибудь конкретный элемент перестановки. Надо проверить, не образуют ли такие элементы подгруппу. Если они образуют подгруппу, то мы нашли подгруппу, группа перестановок смежных классов по которой возможно изоморфна $S_j$.
Таких подгрупп для одного гомоморфизма не может быть бесконечно много, потому что перестановок, оставляющих не месте конкретный элемент перестановки, конечное число, а значит и подмножеств $G$, отображаемых в такие перестановки, конечное число.

Т.е. существует только конечное число гомоморфизмов, для каждого из которых мы можем найти конечное число подгрупп, группа перестановок смежных классов по которым возможно изоморфна $S_j$.

Любой подгруппе индекса $j$ соответствует некоторый гомоморфизм, отображающий $G$ в группу перестановок смежных классов по ней, изоморфную $S_j$.

Мы перебрали все возможные гомоморфизмы, нашли все возможные подгруппы, группы перестановок смежных классов по которым возможно изоморфны $S_j$ и получили, что их число конечно. При этом среди этих подгрупп гарантированно будут лежать все подгруппы индекса $j$, потому что каждой такой подгруппе соотвествует какой-то из этих гомоморфизмов. Значит, раз таких подгрупп конечное число, подгрупп индекса $j$ тоже конечное число.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1543222 писал(а):

Не совсем вник, про что сейчас речь, но вы случайно не это имеете в виду

Нет, совсем не это. Никаких полупрямых произведений тут не было.
sour, да, всё (почти) так.

sour в сообщении #1543243 писал(а):

Надо проверить, не образуют ли такие элементы подгруппу

На самом деле не надо - точно образуют.

sour в сообщении #1543243 писал(а):

группа перестановок смежных классов по которой возможно изоморфна $S_j$

Только не самой $S_j$, а некоторой её подгруппе. У нас и образом гомоморфизма не обязательно была вся $S_j$.