Непрерывная на множестве функция

[artempalkin]

Задача:
Верно ли, что непрерывная функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ переводит
а) открытое множество в открытое
б) замкнутое в замкнутое
в) ограниченное в ограниченное
г) замкнутое и ограниченное в замкнутое и ограниченное?

а) нет, например, $f(x)=x^2$ и $(-1;1)$
в) нет, например, $f(x)=\frac 1x$ и $(-1;1)$

б) верно, но что-то, кажется, я доказываю очень сложно

Непрерывная функция отображает отрезок в отрезок (это следует из того, что она достигает своих верхней и нижней грани на отрезке как на компакте, и что она достигает всех промежуточных значений). Далее, любое замкнутое множество на прямой - это объединение конечного или счетного числа отрезков (вот этот момент в доказательстве мне кажется сложным; я знаю, как это доказать, но как-то это выглядит избыточно). Каждый отрезок отражается в отрезок, а объединение их образов вновь есть замкнутое множество.

Подскажите, может быть, можно доказать проще?

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1542712 писал(а):

любое замкнутое множество на прямой - это объединение конечного или счетного числа отрезков

Когда-то, будучи на втором курсе, я тоже так считал

artempalkin в сообщении #1542712 писал(а):

в) нет, например, $f(x)=\frac 1x$ и $(-1;1)$

Построенная функция не является непрерывной на всей прямой

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1542712 писал(а):

Подскажите, может быть, можно доказать проще?

Можно: постройте контрпример.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1542715 писал(а):

Можно: постройте контрпример.

Хммм, ну, может быть, все $\mathbb{R}$ замкнуто, а $f(x)=\arctg x$ отображает его в $(-\pi/2;\pi/2)$, такой контрпример подойдет?

-- 13.12.2021, 13:11 --

demolishka в сообщении #1542714 писал(а):

Когда-то, будучи на втором курсе, я тоже так считал

Да, на самом деле пересечение конечного или счетного числа отрезков есть замкнутое множество. Я подумал не в ту сторону.

[nnosipov]

Вполне. Как и $f(x)=1/(1+x^2)$.

[artempalkin]

demolishka в сообщении #1542714 писал(а):

Построенная функция не является непрерывной на всей прямой

Да, я несколько неправильно в этом пункте интерпретирую задание.
В таком случае в пункте в ответ "да". Потому что любое ограниченное множество является (по определению) подмножеством некоторого интервала, а значит и некоторого отрезка, а на этом отрезке функция будет ограничена.

[artempalkin]

artempalkin в сообщении #1542712 писал(а):

г) замкнутое и ограниченное в замкнутое и ограниченное?

Это должно быть верно, но как это доказать?

Для начала важно понять, что непрерывная функция отображает отрезок в отрезок (это следует из того, что она достигает своих верхней и нижней грани на отрезке, и что она достигает всех промежуточных значений).

Далее возьмем некое замкнутое ограниченное множество $A$ и рассмотрим его образ $f(A)$. Рассмотрим некоторую предельную точку образа $y$. Также рассмотрим некоторый отрезок $L$, содержащий $A$, тогда отрезок $f(A)\subset\left[\inf\limits_Lf(x);\sup\limits_Lf(x)\right]$. . Точка $y$ есть предельная точка $f(A)$, а значит есть предельная точка $\left[\inf\limits_Lf(x);\sup\limits_Lf(x)\right]$, а значит $y\in\left[\inf\limits_Lf(x);\sup\limits_Lf(x)\right]$, то есть по сути $f^{-1}(y)\cap L\neq \{\emptyset\}$.

(то есть по сути мы просто доказали, что $f(x)=y$ имеет решение)

Фух... Далее выберем некоторый $\varepsilon$ и подумаем, может ли так случиться, что ни одна точка из $f^{-1}(y)\cap L$ не содержит в своей $\varepsilon$-окрестности ни одной точки $A$?

...

Дорогие друзья, я правильно иду? Что-то меня настолько утомило это доказательство, что я стал сомневаться в верности утверждения. Обычно верные и широкоизвестные утверждения доказываются хотя бы как-то обозримо.

[mihaild]

Попробуйте воспользоваться тем, что на прямой замкнутые ограниченные множества - это в точности компакты (ну и доказать это если вы этого не знаете).

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1542728 писал(а):

Попробуйте воспользоваться тем, что на прямой замкнутые ограниченные множества - это в точности компакты (ну и доказать это если вы этого не знаете).

Дык поскольку это одно и то же, в чем будет разница в доказательстве факта, который нам нужно доказать? :) По сути нам нужно доказать, что непрерывная на $\mathbb{R}$ функция отображает компакт в компакт.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1542729 писал(а):

Дык поскольку это одно и то же, в чем будет разница в доказательстве факта, который нам нужно доказать?

Разница в том, что это утверждение гораздо удобнее доказывать исходя из определения компактности, чем думая о метрике и порядке на прямой. Ну и заодно получится теорема работающая для любых топологических пространств.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1542733 писал(а):

Разница в том, что это утверждение гораздо удобнее доказывать исходя из определения компактности, чем думая о метрике и порядке на прямой. Ну и заодно получится теорема работающая для любых топологических пространств.

Хорошо, попробую.

Итак, пусть есть компакт $A$, непрерывная на $\mathbb{R}$ функция $f$ и образ компакта относительно этой функции $f(A)$.

Рассмотрим некоторую последовательность точек $y_1;y_2;\ldots\in f(A)$. Далее рассмотрим $f^{-1}_A(y_1);f^{-1}_A(y_2);\ldots\in A$, где мы из прообраза каждой точки выбрали любой элемент, принадлежащий $A$. Из этой последовательности по определению компакта можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{f^{-1}_A(y_{n_k})\}$, которая сходится, допустим, к $x\in A$. По определению (одному из) непрерывной функции это означает, что $\{f\left(f^{-1}_A(y_{n_k})\right)\}\to f(x)\in f(A)$, то есть $\{y_{n_k}\}\to f(x)\in f(A)$, ч т.д..

Так вроде бы будет верно, подскажите, пожалуйста?

[mihaild]

Да, так можно. Но ИМХО проще воспользоваться основным определением компакта: множество компактно, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

[artempalkin]

mihaild
Да, меня это несколько смущает. В той брошюрке, которую я сейчас читаю (Лекции по мат. анализу Иванов Г.Е.) компакт определяется как множество, на котором из любой последовательности в нем можно выделить сходящуюся подпоследовательность (к его же элементу). Видимо, это определение эквивалентно.

[mihaild]

Да, для метрических пространств они эквивалентны. ИМХО полезное и вполне подъемное упражнение - доказать эквивалентность.

[ctdr]

> любое замкнутое множество на прямой - это объединение конечного или счетного числа отрезков

Наверно Вы за эти дни поняли что это не так. И уже узнали про множество Кантора.

Я лично когда-то воспринял его как что-то искусственное, эксцентричное. А на самом деле оно -- иллюстрация к (весьма фундаментальной) эквивалентности: замкнутость <=> дополнение к открытому. Так и только так исчерпываются все замкнутые мн-ва.

Извиняюсь за некоторую некропостию, но подумал что ТСу будет любопытно.