Заземлённый конденсатор

[kuznets]

Здравствуйте. У меня такой вопрос.

Есть заряженный плоский кондесатор, отключённый от батарейки. Больше ничего нет.
Потенциал (относительно бесконечности) в центре кондесатора равен нулю. Напряжение U на конденсаторе q/C (или Ed).

Теперь положительную пластину заземляют.
Заряды на пластинах и потенциал в центре конденсатора вроде бы не должны поменяться.
Но теперь разность потенциалов между положительной пластиной и центром конденсатора равна нулю и,
следовательно, разность потенциалов между пластинами равна U/2, несмотря на то, что заряды на пластинах не поменялись.

Где у меня здесь ошибка?
Заранее спасибо за объяснение.

[EUgeneUS]

kuznets в сообщении #1542077 писал(а):

Где у меня здесь ошибка?

1.

kuznets в сообщении #1542077 писал(а):

Потенциал (относительно бесконечности) в центре кондесатора равен нулю.

Это не то чтобы неверное, а очень сильное утверждение. В Ваших условиях оно верное, но стоит их чуть-чуть изменить, и оно "ломается". Например:
а) Пусть у нас не плоский, а сферический конденсатор. Тогда потенциал равен нулю на внешней сфере, а не между сферами.
б) Пусть конденсатор плоский, но мы его поместили в клетку Фарадея. И переместили клетку Фарадея из области, где потенциал равен нулю, в область, где потенциал равен $100$ кВ. Конденсатор вообще ничего не заметил (заряды на его пластинах не сдвинулись, даже не перераспределились по-другому), а потенциал между пластинами стал $100$ кВ.

2.

kuznets в сообщении #1542077 писал(а):

потенциал в центре конденсатора вроде бы не должны поменяться.

Это неверно. С чего бы ему не меняться?

Всё дело в т.н. уединенной ёмкости. Это емкость, которая описывает увеличение потенциала одного проводника при росте на нем заряда.
Представить это можно так. Конденсатор - это не только одна ёмкость между обкладками ($C$), а и ещё две емкости ($C_1, C_2$), которые подключены "одной стороной" к обкладке (каждая к своей), а "другой стороной" к "бесконечности" (к точке с нулевым потенциалом).

Для реальных конденсаторов, как правило, $C_1, C_2 \ll C$.
Используя эту эквивалентную схему Вы можете:
а) убедиться, что потенциал между обкладками плоского конденсатора таки равен нулю в случае "изолированного конденсатора". При этом нам придется из соображений симметрии положить $C_1 = C_2$
б) посчитать, как перераспределится заряд, при подключении одной обкладки конденсатора к земле.
в) также Вы сможете убедиться, что если положить $C_1, C_2 = 0$, то потенциал обкладок изолированного конденсатора оказывается неопределенным (определена только разность потенциалов между обкладками)! Это случай идеального конденсатора.

[sergey zhukov]

kuznets
Нужно различать заряд и потенциал. Если подключить пластину к земле и подносить ее к разным заряженным предметам, то ее потенциал всегда постоянный (нулевой), а заряд все время меняется. И наоборот: если изолированную заряженную пластину подносить к другим заряженным предметам, то ее заряд все время постоянный, но потенциал все время будет меняться.

В вашем случае как только изменится потенциал положительной пластины (из-за подключения к земле), так сразу же почти на такую же величину и в ту же сторону изменится и потенциал отрицательной пластины (изолированной), так что разность потенциалов между ними почти не изменится. Для реального конденсатора (скрученные пластины в металлическом корпусе) это практически совершенно точно.

Чтобы еще точнее подсчитать, что произойдет (например, для конденсатора с открытыми плоскими пластинами), нужно использовать эквивалентную схему из трех конденсаторов, как написано у EUgeneUS выше.

[kuznets]

EUgeneUS, спасибо большое за подробный ответ. Но всё-таки вопросы ещё остались.

EUgeneUS в сообщении #1542085 писал(а):

В Ваших условиях оно верное, но стоит их чуть-чуть изменить, и оно "ломается".

Это вроде понятно. Мне хотелось бы разобраться с самым простым случаем,
поэтому я и написал, что кондесатор плоский и что кроме него больше ничего нет.

Цитата:

Это неверно. С чего бы ему не меняться?

Если после заземления положительной пластины заряды нигде не поменялись,
то потенциал относительно бесконечности в центре конденсатора тоже же не поменялся?
Ведь он определяется только зарядами. Также, как и до заземления, можно разбить заряды на пластинах на маленькие и увидеть,
что они создают равный нулю потенциал в центре конденсатора.

Цитата:

Для реальных конденсаторов, как правило, $C_1, C_2 \ll C$.
Используя эту эквивалентную схему Вы можете:
...
б) посчитать, как перераспределится заряд, при подключении одной обкладки конденсатора к земле.

С этой эквивалентной схемой я вроде понимаю. Используя её, можно увидеть, что потенциал в центре после заземления уменьшится на U/2.
(Это можно было бы увидеть и без неё, ведь после заземления его можно посчитать как -Ed/2.)

Но, если я правильно понимаю, используя такую эквивалентную схему, мы также можем убедиться,
что при условии $C_1, C_2 \ll C$ заряд на положительной обкладке остаётся почти таким же, как и до заземления. Верно?
Ведь после заземления конденсатор $C_1$, подключённый к положительной пластине $C$ и имеющий очень маленький заряд,
просто разрядится и у нас опять будет почти такое же расположению зарядов, которое было и до заземления.

Я понимаю, что, вероятно, не учитываю что-то существенное, но пока не понимаю, что.
И из-за этого не могу согласовать эти разные способы подсчёта потенциала в центре конденсатора.

[EUgeneUS]

kuznets в сообщении #1542113 писал(а):

Мне хотелось бы разобраться с самым простым случаем,
поэтому я и написал, что кондесатор плоский и что кроме него больше ничего нет.

Это не то чтобы самый простой случай. Но это хорошо определенный случай. То есть в условиях достаточно данных, чтобы делать однозначные выводы.

kuznets в сообщении #1542113 писал(а):

Если после заземления положительной пластины заряды нигде не поменялись,
то потенциал относительно бесконечности в центре конденсатора тоже же не поменялся?

А с чего бы мы решили, что заряды нигде не поменялись?
Они поменялись. В частности заряд положительно заряженной пластины. Но "низенко-низенко", изменение заряда пластины незначительное, малое, но достаточное, чтобы изменился потенциал в центре конденсатора.

kuznets в сообщении #1542113 писал(а):

Но, если я правильно понимаю, используя такую эквивалентную схему, мы также можем убедиться,
что при условии $C_1, C_2 \ll C$ заряд на положительной обкладке остаётся почти таким же, как и до заземления. Верно?

Да. Именно, что "почти такой же", а не в точности такой же.
Если положим $C_1, C_2 = 0$, то заряд положительной пластины будет в точности такой же. Но тогда, потенциал между пластинами для "изолированного" заряженного конденсатора будет не определен.

[kuznets]

EUgeneUS в сообщении #1542117 писал(а):

А с чего бы мы решили, что заряды нигде не поменялись?
...
Да. Именно, что "почти такой же", а не в точности такой же.
Если положим $C_1, C_2 = 0$, то заряд положительной пластины будет в точности такой же. Но тогда, потенциал между пластинами для "изолированного" заряженного конденсатора будет не определен.

Вот это место мне не совсем ясно. Понятно, что сказать $C_1, C_2 = 0$ будет не совсем правильно, ведь они всё-таки не равны нулю. Но мы можем же положить их сколь угодно малыми, и тогда и заряд на положительной пластине изменится на сколь угодно малую величину? И даже если бы мы и сказали, что $C_1, C_2 = 0$, непонятно, откуда трудности в определении потенциала. Ведь если мы в таком случае не можем пользоваться какими-то формулами, это не значит же, что мы не можем определить его в принципе.

Вот есть две заряженные пластинки. Разбиваем их на маленькие точечные заряды $q_i$ и $-q_i$.
Каждая такая пара зарядов создаёт потенциал в центре конденсатора равный $kq_i/r_i+(-kq_i)/r_i$. Суммарный потенциал в центре конденсатора до заземления 0, после заземления - почти 0.
Как таким способом можно увидеть, что он после заземления не ноль, а -U/2?
Вот это мне непонятно.

[sergey zhukov]

kuznets
Случай неопределенного потенциала - это математический предел, при котором две пластины практически сливаются в одну, т.е. между ними не остается промежутка. При этом все электрическоее поле целиком находится между такими пластинами, а снаружи - совершенно равно нулю. Такого не добьешся, конечно.

У каждой пластины конденсатора - две стороны. Заряды, которые находятся на внутренней стороне (обращенной к другой пластине) - это те, которые создают поле внутри конденсатора. А заряды, которые на наружной стороне каждой пластины, они не могут поле внутри конденсатора создавать, т.к. пластина не проницаема для поля. Они создают поле снаружи.

Представьте, что у вас только одна отрицательно заряженная пластина в пространстве. Заряды по ее поверхности как-то распределяются, причем половина - на одной поверхности, а половина - на другой. Теперь мы издалека подносим к этой пластине другую, заземленную пластину. Заряды на отрицательной пластине начнут перетекать с одной стороны на другую. Чем ближе подносим заземленную пластину, тем на отрицательной пластине больше заряда на внутренней стороне и меньше - на наружной.

Чтобы подсчитать потенциал внутри конденсатора, нужно знать, сколько заряда находится на внутренней поверхности, и сколько - на наружной поверхности пластин.

[EUgeneUS]

kuznets
Понимание наступает через решение задач. Предлагаю решить такую задачу:
1. Плоский конденсатор представляет собой две круглые соосные пластины радиуса $R =$ 10 см. Расстояние между пластинами $d =$ 1 мм.
2. Конденсатор заряжен до напряжения $U=$ 10 В. При этом заряды на пластинах равны по модулю и противоположны по знаку.
3. На положительно заряженную пластину добавили заряд $q$, чем увеличили ее заряд в $1.1$ раза. А на отрицательную ничего не добавляли.

Вопрос: какой будет потенциал в центре конденсатора (по середине между пластинами)?
можно пользоваться эквивалентной схемой и справочными формулами для ёмкости плоского конденсатора и круглой пластины.

Пока Вы не решите эту или подобную задачу, понимание не наступит.

[rustot]

Cобственная емкость пластины допустим $C$. А "взаимная емкость" двух пластин (отношение заряда одной пластины к потенциалу, создаваемому им на второй) допустим $1.001\cdot C$

Это означает, что если заряд какой то из пластин изменится на $\Delta q$ то это изменит ее потенциал на $\frac{\Delta q}{C}$, а потенциал соседней пластины на $\frac{\Delta q}{1.001\cdot C}$.

Если же теперь заряд второй пластины изменится на противоположную величину $-\Delta q$ то это почти вернет потенциалы пластин к прежнему значению, но все таки не совсем. В результате двух противонаправленных изменений в итоге на первой он суммарно увеличится на $\frac{\Delta q}{C}-\frac{\Delta q}{1.001\cdotC} = \frac{\Delta q}{1001\cdot C}$. А потенциал второй соответственно на столько же в обратную сторону и разность потенциалов изменится на $\frac{\Delta q}{500.5\cdot C}$. Вот это $500.5\cdot C$ - это то, что известно нам как "емкость конденсатора" - отношение заряда одной из пластин к разности их потенциалов при условии что на второй пластине находится такой же по модулю заряд противоположного знака. Это взаимное "уничтожение потенциалов" позволяет на пластину конденсатора загнать на порядки больше заряда чем на отдельно стоящую пластину

Если же вы работаете с конденсатором "необычным" образом, изменяете заряд на одной пластине и при этом не изменяете в обратную сторону заряд на другой, то ОБЕ пластины конденсатора реагируют на этот заряд почти одинаково и однонаправленно.

Когда вы заземляете одну из пластин конденсатора, то ее потенциал изменяется до потенциала планеты, но не каким то магическим образом "само", а путем протекания между планетой и обкладкой тока до тех пор, пока заряд пластины не изменится на столько, что их потенциалы не сравняются. И это изменение заряда одной из пластин почти одинаково меняет потенциал обеих пластин и соответственно почти не сказывается на их разности. Но опять же "почти". То есть разность потенциалов между пластинами при этом слегка изменится. Например если прикрепить заряженный конденсатор к дрели и вращать так, чтобы его ножки поочередно касались водопроводной трубы, он будет постепенно разряжаться, но очень небыстро.

[sergey zhukov]

rustot
Еще довольно понятна аналогия задач электростатики с задачами теплопроводности.

В этой аналогии:
Электрический проводник - идеальный проводник тепла (с бесконечной теплопроводностью);
Вакуум (или другое вещество, в котором находятся электрические проводники) - проводники тепла с конечной теплопроводностью; Потенциал - температура;
Электрическое поле - поле вектра потока тепла;
Точечный заряд - источник тепла;
Заряд тела - полный поток тепла с его поверхности;
Плотность потока тепла с участка поверхности - плотность заряда на данном участке поверхности;
Емкость - отношение полного потока тепла от тела с заданной температурой к его температуре. По сути, полный поток тепла от тела, нагретого на одну единицу температуры.

В электростатике обычно говорят "заряд является источником поля" и это правильно. Но иногда проще рассуждать наоборот. В теплопроводной аналогии достаточно естественно такое представление: даны хорошо проводящие тепло тела (проводники) с различной заданной температурой, погруженные в общую теплопроводную среду. Найти поток тепла в пространстве (электрическое поле), а так же плотность потока тепла на поверхности тел (плотность заряда).

Поскольку все наши тела - это идеальные проводники тепла, то они в каждый момент времени обладают одинаковой (у каждого своей) температурой по всему своему объему. Поэтому в толще проводников нет потоков тепла (внутри проводников нет ни поля, ни зарядов), а мы вместо "распределение температуры по телу" можем говорить просто "температура тела" (потенциал пластины) и считать все источники тепла находящимися на поверхности тела.

Возьмем одиночную нагретую пластину с фиксированной температурой $T$ и погрузим ее в бесконечную теплопроводную среду с температурой $0$ (потенциал на бесконечности равен $0$). Когда среда вокруг прогреется, с пластины будет уходить некоторый поток тепла (равный ее заряду), а плотность потока тепла в разных точках поверхности пластины будет разной (разная плотность поверхностного заряда). В частности, на краях пластины плотность потока тепла будет несколько выше, чем в середине (это сильно зависит еще от того, как в точности выглядит край). Вообще ясно, что на острых ребрах и вообще остриях плотность потока тепла стремится к бесконечности (т.к. там, по сути, одна точка тела окружена теплоотводящей средой со всех сторон). Поэтому и плотность заряда на остриях высока.

Если бы это было реальное теплопроводящее горячее тело с острыми гранями и выступами, остывающее в неподвижной теплопроводной среде, то эти его грани и выступы остыли бы первыми (собственно, это и есть показатель повышенной плотности потока тепла с этих деталей). Но наше тело настолько идеально проводит тепло, что даже самое тонкое и длиное его острие имеет на своем кончике всегда совершенно ту же температуру, что и все тело. При этом плотность потока тепла с кончика острия стремится к бесконечности.

Поток тепла с такой пластинки в бесконечность при нагреве ее на один градус будет малым (маленькая емкость). Теперь поставим рядом с ней другую такую же параллельную пластину, охлажденную до температуры $-T$. Ясно, что поток тепла теперь почти исключительно будет происходить с одной пластины на другую в зазоре между ними. Кроме того, он значительно усилится (заряд на пластинах значительно увеличиться, хотя их температура, т.е. потенциал, никак не изменилась), а плотность потока тепла с внутренних сторон пластин (обращенных друг к другу) будет гораздо выше, чем плотность потока тепла с их обратных сторон (т.е. почти весь заряд находится на внутренних сторонах пластин, а на внешних его почти нет). Температура среды в середине между пластинами равна, разумеется, $0$.

Но обратные стороны пластин все равно имеют температуру $T$ и $-T$, т.е. выше и ниже нуля, поэтому с горячей пластины и к холодной пластине из бесконечности все равно продолжает притекать и оттекать некоторый слабый поток тепла. Хотя он не сопоставим с потоком тепла между пластинами.

А теперь можете представить, что будет, если, скажем, отрицательную пластину соединить проволочкой с "бесконечностью", а положительную пластину считать изолированной (постоянный заряд/теплопоток, а не постоянный потенциал/температура). Температура бывшей отрицательной пластины станет равной нулю, но приток тепла к ней от положительной пластины практически не уменьшится (т.к. поток тепла с положительной пластины фиксирован, и у него есть "выбор": течь к нулю на бесконечное расстояние или течь к тому же нулю, который находится на расстоянии, скажем, 1 мм). Теплопоток же с положительной пластины задан фиксированным (ее заряд фиксирован), при этом он почти весь течет на тело, которое вдруг увеличило свою температуру на $T$. Чтобы обеспечить неизменный теплопоток, положительной пластине придется тоже нагреться на $T$ (увеличить свой потенциал), т.е. до температуры $2T$.

При этом температура в середине между пластинами будет равна почти точно $T$. Вот так изменение потенциала одной пластины увеличивает изменение потенциала другой пластины практически на ту же величину.

[kuznets]

EUgeneUS в сообщении #1542178 писал(а):

kuznets
Понимание наступает через решение задач. Предлагаю решить такую задачу: ...

Пусть $Q $- заряд на положительной пластине до добавления туда заряда $q$.
Тогда после добавления на внутренних поверхностях пластин конденсатора будут заряды $Q+q/2$ и $ -(Q+q/2)$ , а на внешних поверхностях по $q/2$.
Предположим, что на внешних поверхностях пластин заряд распределён равномерно по площади.
Тогда потенциал в центре конденсатора, который создаёт этот дополнительный заряд будет $2kq/R$ (при данных соотношениях R и d это с точностью до процента). (Потенциал, который создаёт заряд с внутренних поверхностей - ноль.)
Если выразить его через $U$, то у меня получается $0.05UR/d$, то есть $5U=50B$.
Да, понятно. Спасибо большое. Мне надо было сразу самому догадаться цифры задать.

В моём случае после заземления заряд стечёт с положительной пластины в землю, причём при заданных Вами размерах конденсатора его величина будет порядка $Q/100$.

В ходе решения появился ещё вопрос.
Как будет распределён этот дополнительный заряд по внешним поверхностям пластин, равномерно или ближе к краям?

-- 11.12.2021, 22:12 --

rustot в сообщении #1542219 писал(а):

...

Спасибо!

Сергей Жуков
Тоже спасибо за помощь!

[EUgeneUS]

kuznets в сообщении #1542496 писал(а):

В ходе решения появился ещё вопрос.
Как будет распределён этот дополнительный заряд по внешним поверхностям пластин, равномерно или ближе к краям?

А Вы не так-то просты, как могло показаться в начале

Наиболее простое решение предложенной задачи - это из аддитивности потенциала (потенциал системы зарядов есть сумма потенциалов зарядов, входящих в систему).

Что Вы в некотором виде и проделали.

А дальше был подготовлен вопрос: если аддитивность потенциала выполняется точно, то почему решение приближенное? Но Вы его упредили

Если кратко, то "справочные" ёмкости, что плоского конденсатора, что уединенной круглой пластины - приближённые. Кроме того, добавление заряда только на одну пластину может привести к перераспределению заряда на другой пластине.

Точное решение будет довольно сложным, если вообще возможно аналитически. И даже приближенное решение для ёмкости плоского конденсатора с учетом краевых эффектов есть предмет рассмотрения в ЛЛ.

[sergey zhukov]

sergey zhukov в сообщении #1542274 писал(а):

Но обратные стороны пластин все равно имеют температуру $T$ и $-T$, т.е. выше и ниже нуля, поэтому с горячей пластины и к холодной пластине из бесконечности все равно продолжает притекать и оттекать некоторый слабый поток тепла. Хотя он не сопоставим с потоком тепла между пластинами.

Вот это я ерунду написал. Если заряд пластин одинаковый, поток поля на бесконечность не пойдет. Он весь будет идти с одной пластины на другую. С внутренних сторон пластин - между собой, с наружных сторон пластин - так же между собой. Конечно, поток с наружных сторон пластин будет очень мал в сравнении с потоком с внутренних сторон пластин.

Наша задача примерно так выглядит:


Есть конденсатор внутри металлического ящика. Его пластины заряжены зарядами $+q$ и $-q$. Ящик не заряжен (впрочем, это не имеет значения. Его заряд может быть любым). Поток поля течет с одной пластины на другую. Если замкнуть ключ, то это фактически означает изменение геометрии правой пластины (она становится гораздо больше) при том же ее заряде. Заряд перераспределиться по новой "пластине" (так, чтобы энергия электрического поля стала минимальной). Перетекание заряда произойдет примерно так, как показано стрелкой. Он практически полностью уйдет с задней стороны правой пластины, при этом почти равное количество заряда перетечет на левой пластине с внутренней стороны наружу. Емкость такого конденсатора с увеличенной правой обкладкой увеличится, что при неизменном заряде означает падение напряжения между его пластинами (т.е. потенциал пластин не измениться точно одинаковым образом, разность потенциалов слегка уменьшиться).

Ясно, что слева у нас получился конденсатор. Если мы теперь захотим проделать то же самое с левой пластиной (т.е. перенесем ключ к левой пластине и замкнем его), то нам придется замкнуть этот конденсатор и потерять его энергию (часть заряда пропадает), в остальном же картинка после замыкания будет выглядеть противоположным образом. Если так сделать много раз, конденсатор полностью разрядится, как уже было написано выше.

Если увеличивать размер ящика до бесконечности, это принципиально ничего не меняет. Это все, конечно, повторение того, о чем выше писал EUgeneUS.

А вот как выглядит распределение плотности заряда по обеим сторонам обеих пластин конденсатора, одну из пластин которого заземлили (для плоского случая (пластины бесконечной длины и конечной ширины) при соотношении ширина/зазор примерно 1/3):

[realeugene]

kuznets в сообщении #1542077 писал(а):

Но теперь разность потенциалов между положительной пластиной и центром конденсатора равна нулю

Нет, не равен.

Вообще, потенциал нелокальное свойство физической системы. Применимое только в электростатике. У вас же уже не электростатика, раз текут токи. Тот потенциал, который образовался после заземления пластин, и тот, который был до заземления пластины, совершенно разные потенциалы.

[rustot]

kuznets в сообщении #1542496 писал(а):

В ходе решения появился ещё вопрос.
Как будет распределён этот дополнительный заряд по внешним поверхностям пластин, равномерно или ближе к краям?

Та часть заряда, которая "конденсаторная", распределена по обращенным друг к другу поверхностям пластин очень близко к равномерному

А вот та что "избыточная" - распределится примерно так же, как заряд по аналогичному цельнометаллическому телу, повторяющему внешнюю форму конденсатора. То есть основная часть вдоль острых кромок. Причем "избыточный" заряд окажется размазан по обеим пластинам, хотя поместили его на одну