Связь формул ОТО и классической траектории

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

manul91 в сообщении #1542020
писал(а):
Если далее вообще не учитывать малую поправку $\frac{r_s}{r}$ считая ее нулем (но продолжать учитывать классическую буковку $U$), то уже получим чисто классическую траекторию.
Вот эта классическая траектория в этом случае всегда будет прямой.

Нет, прочтите внимательно. Я писал "Если далее вообще не учитывать малую поправку $\frac{r_s}{r}$ считая ее нулем (но продолжать учитывать классическую буковку $U$)...".
Если в гибридной формуле не учитывать малую поправку с $\frac{r_s}{r}=\frac{2GM}{rc^2}$ считая ее нулем но продолжать учитывать классическую буковку $U=\frac{GM}{r}$, то получим чисто классическую траекторию эллипс/парабола/гипербола (правда "нарисованную" по соответных координат на гиперболоиде Фламма далеко от дырки, т.к. многообразие на которое координаты заданы хотя и там "близко" к плоском, но не ровно плоское же).
"Прямую" (постольку, поскольку можно назвать полярно-координатную прямую на гиперболоиде Фламма "прямой") получим если в гибридном выражении (в котором участвуют классическая полная энергия $E$, классический потенциал $U$ у которого нет аналога в ОТО, и чисто ОТО-шный член с $\frac{r_s}{r}$) не будем учитывать обоих вещей: как $r_s$, так и классический потенциал $U$.

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

Первая - это следствие приближения $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}} \approx 1+\frac{u^2}{c^2}$, т.е. даже еще более просто $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}\approx 1$. Это потребовалось нам, чтобы выделить $\frac{mu^2}{2}$. Поэтому в точном подкоренном выражении мы получаем:

$$(\frac{m^2u^2}{1-\frac{u^2}{c^2}}-\frac{L^2}{r^2})(1-\frac{r_s}{r}) \approx (m^2u^2-\frac{L^2}{r^2})(1-\frac{r_s}{r})$$

В этом приближении никаких подводных камней вроде нет. Просто медленное движение в кривом пространстве-времени.

Совершенно верно.
Так как мы не можем ограничивать насильственно чтобы движение было медленным (пробное тело свободное же) правильнее будет сказать, что это приближеное решение будет близко к реальном решении на тех участках траектории, на которых движение остается медленным.

Это кстати и означает, что мы не вправе просто ограничится решением приближенном уравнении на $\varphi(r)$ "как есть" и "получать" геометрическую траекторию движения $\varphi(r)$, начисто игнорируя параметр времени (т.е. скорость) на этой траектории.
Мы обязаны найти полное решение (не только геометрический вид траектории, но и движение по ее участках) - типа найти обоих $\varphi(t),r(t)$ - чтобы сосчитать где какая получается скорость - и соответно ИСКЛЮЧИТь из приближенного решения для геометрической траектории $\varphi(r)$ те ее участки, в которых скорость не соблюдает $v \ll c$ и соответно приближенное решение возможно не будет иметь ничего общего с реальности.

Но да, кроме этих уточнений - в этом начальном приближении через $v \ll c$ никаких подводных камней вроде нет и все тут ясно.

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

При этом у нас в каждой точке пространства-времени координатная длина и координатное время равны собственной длине и собственному времени любого наблюдателя в этой точке. Нет сокращения размеров и замедления времени движущегося наблюдателя.

Нет отнюдь.
Тут речь не про движущегося наблюдателя, а про отличие пространственных координат и времени Шварцшильда (оригинальное точное решение ОТО данО именно в этих координат), от собственных длин и времени неподвижного наблюдателя в соответных "местах" где пролетает свободное тело.
Даже в точках траектории где $v=0$, координаты $r,t$ здесь по смыслу остаются шварцшильдовскими - и из-за искривления пространства-времени гравитацией, координатные дифференциалы шв. координат $dr^2+r^2d\varphi^2$, $dt$ (обозначенные вами как $l_c,t_c$) не совпадают с "истинными" ("истинными" тут следуя ЛЛ, обозначаем интервалы $dl$, $d\tau$ которые измеряет по своим часам и линейкам координатно-неподвижный наблюдатель в точке $r_0$,$t_0$ мимо которого "пролетает" свободное тело).
Правда, при $\frac{r_s}{r}\ll1$ (далеко от дырки) эта разница мала (но все-таки существует).

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

Я так понял, что сомнение в замене $u_m$ на $u_c$?

Да.

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

Но ведь в формулу для орбиты скорость тела в итоге войдет только через полную энергию, которая постоянна.

Так у нас тут "две энергии" - ОТО-шный интеграл движения $\varepsilon$, и классический (Ньютоновский) интеграл движения $E=E_{full}$.
Реалность состоит в том, что на орбите (как при медленной скорости, так и при быстрой) сохраняется именно ОТО-шная константа $\varepsilon$; Ньютоновская энергия определенная как $E=mv^2 + \frac{GM}{r}$ на самом деле на траектории в точном смысле НЕ сохраняется (даже при медленной скорости), и мы делаем ошибку после подстановки $u_m$ на $u_c$, и далее при решении считая что сохраняется именно $E$.

sergey zhukov в сообщении #1542028 писал(а):

Т.е. достаточно только один раз правильно подсчитать $u_m$ в начальной точке, а дальше забыть про скорость вообще.

Не понял почему?
Вобщем, наверно правильнее если мы до конца будем считать, что координаты по смыслу остаются шварцшильдовскими, в частности траектория $\varphi(r)$ "рисуется на параболоиде Фламма" (хотя и далеко от дырки). Возможно даже окажется, что замена $u_m$ на $u_c$ не вносит никакой дополнительной ошибки.... Не знаю как тут подойти, ибо в Ньютоне нет такого отличия и $u_m$ и $u_c$ там "одно и то же".
Наверно, стоит просто тупо в лоб подставить данные про Меркурия и посмотреть, какая ошибка вносится через заменой $u_m$ на $u_c$ в пределах орбиты (и считая что сохраняется $E$, когда на самом деле сохраняется $\varepsilon$); чтобы убедиться что она ничтожна по сравнению с поправки учета члена с $\frac{r_s}{r}$.

Насчет классического вычисления про прецессии Меркурия: там все-таки, не "рисуется геометрическая орбита" в непосредственном смысле...
Там вычисляется отклонение угла перигелия за определенном времени (столетие) - и, хотя и угол по смыслу инвариантен что в ОТО то и в классике, опять не совсем понятно речь идет про сто лет в координатном времени Шварцшильда или нужно сделать поправку на локальное время наблюдателя (в точке перигелия? Земли?); впрочем существенной разницы в ответом наверно не будет, так как поправка будет крайне мала.
И в конечном счете, прецессию можно сформулировать вполне инвариантным способом - как отклонение угла перигелия за полного оборота (от достижения перигелия до следующего достижения перигелия); и эта величина в такой формулировке полностью не зависит от теории (угол смещения инвариантен, и полный оборот не зависит от того в каком времени измеряется этот оборот - в координатном шварцшильдовском, или локальном времени наблюдателя).

-- 09.12.2021, 00:27 --

sergey zhukov
Кстати, из пояснений ЛЛ 88.9 ясно что в формулой для полной энергии $\varepsilon=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{mc^2\sqrt{(1-\frac{r_s}{r})}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, скорость $v$ по смыслу это скорость в "истинных" линеек и времени неподвижного наблюдателя в данном месте $v=\frac{dl}{d\tau}$ (а НЕ в смысле отношении шварцшильдовских координат $v_c=\frac{dr^2+r^2d\varphi^2}{dt}$).
Таким образом, подставляя $\varepsilon=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{mc^2\sqrt{(1-\frac{r_s}{r})}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}; \varepsilon^2=\frac{m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})(1+\frac{dl^2}{d\tau^2c^2})$, мы теперь в одной и той же формуле имеем как шв. пространственные координаты и время, так и "истинные" интервалы неподвижного наблюдателя (через которых выражена скорость)...
Что вроде нехорошо т.к. в формуле хорошо бы иметь одни и те же величины, иначе дело запутывается (мы это полностью игнорировали, не знаю вправе или нет).

[sergey zhukov]

manul91
Да по моему, все проще.

В точном уравнении ОТО под корнем стоит:

$$const_1+\frac{r_s}{r}m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}+\frac{r_sL^2}{r^3}$$

А в точном классическом решении стоит:

$$const_2+\frac{r_s}{r}m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}$$

Разница между ними на самом деле только в члене $\frac{r_sL^2}{r^3}$. И этот член отвечает за учет искривления пространственной части метрики. Если им пренебречь, координата $r$ начинает совпадать с радиальным расстоянием $R$, а пространственная часть метрики становится плоской. Так мы получаем ньютоновскую гравитацию.

Член $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ отвечает за искривление временной части метрики. Он присутствует в обоих уравнениях, но это не влияет на тот факт, что во втором случае радиальная координата $r$ совпадает с радиальным расстоянием $R$.

Все тонкости со скоростью влияют только на то, как именно определить константы в этих уравнениях. Это не вносит никакой принципиальной разницы. Даже требование малости $\frac{u}{c}$ тут явно нигде не видно и опять же влияет только на величину констант (я думаю, что это условие автоматически необходимо для возможности пренебрежения членом $\frac{r_s}{r}m^2c^2$)

Так что пренебрежение $\frac{r_sL^2}{r^3}$ сразу ведет к плоскому пространству и после этого упрощения $r$ уже имеет смысл расстояния.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542177 писал(а):

Разница между ними на самом деле только в члене $\frac{r_sL^2}{r^3}$. И этот член отвечает за учет искривления пространственной части метрики. Если им пренебречь, координата $r$ начинает совпадать с радиальным расстоянием $R$, а пространственная часть метрики становится плоской. Так мы получаем ньютоновскую гравитацию.
Член $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ отвечает за искривление временной части метрики. Он присутствует в обоих уравнениях, но это не влияет на тот факт, что во втором случае радиальная координата $r$ совпадает с радиальным расстоянием $R$.

Простите вообще не понимаю, что вы имеете ввиду.... В классике нет никакого "искривления временной части метрики" (и констант $r_s$ и $c$ тоже нет - они просто бессмысленны в классике; хотя и формально их можно ввести и записать выражение как у вас - но это смысла вроде не добавляет).

Более того, считать что какие-то отдельные члены в каком-то многочлене соответствуют в отдельности "искривления временной" и "искривления пространственной" частей метрики звучит очень странно. Пространство-время (многообразие) "искривлено" вцелом, а не по отдельности пространство и отдельно время. Да и что такое "искривленная метрика" (она зависит от координат...)
В остальных предложений также не вижу какого-нибудь смысла... Как может "пренебрежение члена" вдруг изменить смысл какой-нибудь координаты...? Сменить многообразие с кривого на плоским? и т.д.

Но в вашей записи формул все-таки что-то наводящее есть...
Типа в классике мы обзываем $\operatorname{const_2}=2mE$ то что на самом деле есть $\operatorname{const_1}=\frac{\varepsilon^2}{c^2} - m^2c^2$, а поправка $\frac{r_sL^2}{r^3}$ "слишком мала и мы ее не замечаем".
Это то, что вы имели ввиду?
Что из этого следует... Поправка к классике должна быть только $\frac{r_sL^2}{r^3}$? И это вовсе не "поправка", а "совершенно точно" (пока мы считаем тех же координат "нарисованными" не на параболоиде Фламма, а как "полярные" на плоскости)?

[manul91]

manul91 в сообщении #1542270 писал(а):

Типа в классике мы обзываем $\operatorname{const_2}=2mE$ то что на самом деле есть $\operatorname{const_1}=\frac{\varepsilon^2}{c^2} - m^2c^2$, а поправка $\frac{r_sL^2}{r^3}$ "слишком мала и мы ее не замечаем".
Это то, что вы имели ввиду?

P.S ...Если так, мне кажется я не согласен.. В классике у нас по определению, полная энергия пробного тела в гравитационном поле равна $E=mv^2/2 - GMm/r$. И именно так ее и вычисляем (а не исходя из подкоренном выражении для ОТО:); и это и есть то выражение, что считается что сохраняется в классике в гравитационном поле.
Если это выражение как оказывается, не совсем точно сохраняется (потому что гравитация действует не совсем так, как ожидалось) - это не значит, что классическая величина $E$ вдруг переопределилась и она "уже другая"...

Скажу так, если "запускаем" пробное тело с $r_0=10^6, v_0=10^3$ (примерно), то классически именно из этих величин мы должны вычислить классическую полную энергию $E_{classic}$ по формуле $E=mv_0^2/2 - GMm/r_0$, и далее именно это число мы должны подставить в гибридную формулу с поправкой $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})}}}$, чтобы узнать как оно будет падать.

[sergey zhukov]

manul91
Мда. Что-то я там кривовато написал, да еще и с ошибкой.

Ок, тогда так. Если в метрике в координатах Шварцшильда положить компоненты при $dr^2, d\varphi^2, d\theta^2$ равными единице и оставить только компоненту при $dt^2$ (т.к. она значительно больше всех предыдущих), то мы и получаем ньютоновскую орбиту. При этом в точном уравнении орбиты просто пропадает член $\frac{r_s}{r^3}L^2$, который по этому и уместно назвать "ответственным за искривление пространства". У нас получается пространство-время, где временные срезы $t=const$ плоские, т.е. теперь уже не параболоиды. Это значит: как только выкинули из уравнения $\frac{r_s}{r^3}L^2$ - так сразу можем считать, что координата $r$ и радиальное расстояние $R$ - это теперь одно и то же.

А классический член $-\frac{GMm}{r}$ появляется в уравнении орбиты из-за удерживания в метрике коэффициента при $dt^2$, т.е. учитывает "искривление времени". Если выбросить и его, гравитация полностью исчезает. Т.е. даже класическая гравитация без искривления пространства-времени не существует. Но в ОТО у нас искривление целиком пространства-времени, а у ньютона - независимые пространство и время, причем "искривлено" только время.

manul91 в сообщении #1542270 писал(а):

Что из этого следует... Поправка к классике должна быть только $\frac{r_sL^2}{r^3}$? И это вовсе не "поправка", а "совершенно точно" (пока мы считаем тех же координат "нарисованными" не на параболоиде Фламма, а как "полярные" на плоскости)?

Да, что-то такое. Причем если поправку отбросить, то можно прямо говорить что орбита нарисована на плоскости, а не о параболоиде. Если же не отбрасываеть эту поправку - то на параболоиде.

manul91 в сообщении #1542277 писал(а):

P.S ...Если так, мне кажется я не согласен.. В классике у нас по определению, полная энергия пробного тела в гравитационном поле равна $E=mv^2/2 - GMm/r$. И именно так ее и вычисляем (а не исходя из подкоренном выражении для ОТО:); и это и есть то выражение, что считается что сохраняется в классике в гравитационном поле.

Да, как правильно вычислить $E$ в начальной точке, и какая ошибка возникнет от того, что мы вычислили ее в начальный момент неправильно - это вопрос. Но от этой ошибки мы просто получим вместо одного классического эллипса другой классический эллипс, вот и все. И нам совершенно не нужно постоянно следить вдоль орбиты, сохраняется или нет во всех ее точках выражение $E=\frac{mu^2}{2}-\frac{GMm}{r}$. Конкретно это выражение действительно может не сохраняться, но это не значит, что на месте $const_2$ не стоит сохраняющаяся величина. Получится, что мы хотели подсчитать траекторию для одной начальной энергии, а подсчитали в итоге немного для другой.

Да, насчет $r_s$ и $c$. Ясно же, что $\frac{r_s}{r}m^2c^2=\frac{2MG}{rc^2}m^2c^2=2m(\frac{GMm}{r})$. Можно в обоих уравнениях так записать.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542282 писал(а):

Ок, тогда так. Если в метрике в координатах Шварцшильда положить компоненты при $dr^2, d\varphi^2, d\theta^2$ равными единице и оставить только компоненту при $dt^2$ (т.к. она значительно больше всех предыдущих), то мы и получаем ньютоновскую орбиту. При этом в точном уравнении орбиты просто пропадает член $\frac{r_s}{r^3}L^2$, который по этому и уместно назвать "ответственным за искривление пространства". У нас получается пространство-время, где временные срезы $t=const$ плоские, т.е. теперь уже не параболоиды. Это значит: как только выкинули из уравнения $\frac{r_s}{r^3}L^2$ - так сразу можем считать, что координата $r$ и радиальное расстояние $R$ - это теперь одно и то же.

А классический член $-\frac{GMm}{r}$ появляется в уравнении орбиты из-за удерживания в метрике коэффициента при $dt^2$, т.е. учитывает "искривление времени". Если выбросить и его, гравитация полностью исчезает. Т.е. даже класическая гравитация без искривления пространства-времени не существует. Но в ОТО у нас искривление целиком пространства-времени, а у ньютона - независимые пространство и время, причем "искривлено" только время.

Да, теперь все понятно (в метрике компонента перед угловым дифференциалом и так равна $r^2$ и их трогать ненужно, т.е. речь идет про положить коеффициента $g_{rr}$ единичным т.к. отклонение $g_{tt}$ от $c^2$ намного больше из-за множителя $c^2$).
При этом, выходит ограничение на "малых скоростей" уже не будет (не необходимо) т.к. все считается точно (за приближением выше)?
Выходит, одна поправка $\frac{r_s}{r^3}L^2$ ответственна как для прецессию орбит, так и она же и правильно даст отклонение луча для околосветовых частиц ровно в два раза по отношению к классике?

sergey zhukov в сообщении #1542282 писал(а):

Если в метрике в координатах Шварцшильда положить компоненты при $dr^2, d\varphi^2, d\theta^2$ равными единице и оставить только компоненту при $dt^2$ (т.к. она значительно больше всех предыдущих), то мы и получаем ньютоновскую орбиту. При этом в точном уравнении орбиты просто пропадает член $\frac{r_s}{r^3}L^2$,

Где можно увидеть что как раз это имеет место, и как раз член $\frac{r_s}{r^3}L^2$ пропадает и получаем точное Ньютоновское решение если брать такую приближенную "плоскую пространственно" метрику с $g_{rr}=1$?
Если так, то "переход к классическим уравнением" (про который спрашивал топикстартер) будет иметь совсем другой вид нежели который я предлагал со скоростей, т.е. все намного проще: 1) берем приближенную "плоскую пространственно" метрику 2) Берем точное решение ОТО для такой метрики

И интересно, а что будет получаться если для метрики брать "промежуточное не-плоское приближение" где коеффициент $g_{rr}$ разложен в ряд по $\frac{r_s}{r}$ и удержана только первая степень т.е. $g_{rr} \approx -(1+\frac{r_s}{r})$ не пренебрегая отклонение от единицы?

sergey zhukov в сообщении #1542282 писал(а):

Да, как правильно вычислить $E$ в начальной точке, и какая ошибка возникнет от того, что мы вычислили ее в начальный момент неправильно - это вопрос. Но от этой ошибки мы просто получим вместо одного классического эллипса другой классический эллипс, вот и все. И нам совершенно не нужно постоянно следить вдоль орбиты, сохраняется или нет во всех ее точках выражение $E=\frac{mu^2}{2}-\frac{GMm}{r}$. Конкретно это выражение действительно может не сохраняться, но это не значит, что на месте $const_2$ не стоит сохраняющаяся величина. Получится, что мы хотели подсчитать траекторию для одной начальной энергии, а подсчитали в итоге немного для другой.

Да, это вроде,тоже имеет смысл. А "ошибка в скорости" при вычислением $E$ возникнет даже в пространственно-плоской метрики, потому что $dt$ и $d\tau$ не одно и то же (грав. "замедление времени" мы не пренебрегаем).

-- 10.12.2021, 17:57 --

sergey zhukov в сообщении #1542177 писал(а):

Даже требование малости $\frac{u}{c}$ тут явно нигде не видно и опять же влияет только на величину констант (я думаю, что это условие автоматически необходимо для возможности пренебрежения членом $\frac{r_s}{r}m^2c^2$)

А этого я не понял. Член $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ вроде нигде не пренебрегается?

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1542327 писал(а):

в метрике компонента перед угловым дифференциалом и так равна $r^2$ и их трогать ненужно

Да, я имел ввиду, что метрика должна соответствовать метрике плоского пространства в сферических координатах. Там не единицы, конечно.

manul91 в сообщении #1542327 писал(а):

Где можно увидеть что как раз это имеет место, и как раз член $\frac{r_s}{r^3}L^2$ пропадает

Вот это, я скажу честно, просто догадка. Т.е. я уверен, что это именно так, но сам не считал. Просто знаю, что первоначально Эйнштейн вывел из своего принципа эквивалентности только гравитационное замедление времени. И на основании только этого гравитационного замедления времени он подсчитал, что отклонение лучей света будет таким, же, как у Ньютона, т.е. вообще не получил ничего нового в смысле формы орбиты. Затем он учел так же искривление пространства и получил вдвое больший результат. Я полагаю, что эти два случая и соответствуют двум нашим уравнениям с поправкой и без.

Насчет распространения света в поле Шварцшильда. Есть простая аналогия, которая мне очень нравится.

Мы знаем, что свет в среде, где его скорость переменная, распространяется вдоль скорейшей линии. Задав функцию скорости света по пространству (скажем, на плоскости), мы можем рассчитать его путь.

Мы знаем о феномене гравитационного замедления времени (которое определяется только компонентой метрики при $dt^2$). Мы можем истолковать его в том смысле, что это скорость света по пространстве является переменной: вблизи от центра тяготения свет идет медленнее. Стало быть, имеем задачу о распространении света в среде с переменной скоростью. Если подсчитать отклонение света из этих соображений, то получим тот же результат, который дает Ньютон.

Теперь учтем, что пространство искривлено в виде параболоида. Это значит, что на самом деле нам задана переменная скорость света не на плоскости, а на поверхности параболоида. И нужно найти линию скорейшего распространения света на криволинейной поверхности, на которой задана переменная скорость света. Вот в этом случае результат отклонения получается вдвое большим.

Итого, можно представлять себе, что свет в пространстве Шварцшильда распространяется не по скорейшей линии на плоскости переменной оптической плотности и не по кратчайшей линии на искривленной поверхности (геодезическая), а по скорейшей линии на искривленной поверхности переменной оптической плотности.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542334 писал(а):

Вот это, я скажу честно, просто догадка. Т.е. я уверен, что это именно так, но сам не считал.

Звучит довольно убедительно (вместе с вашими пояснениями). Все же неплохо бы посмотреть на конкретные вычисления чтобы убедиться на 100% что это так. Там двойка выйдет при потенциале.. наверно скомпенсируется с двойки в множителе $2m$ или что-то вроде

sergey zhukov в сообщении #1542334 писал(а):

Мы знаем о феномене гравитационного замедления времени (которое определяется только компонентой метрики при $dt^2$). Мы можем истолковать его в том смысле, что это скорость света по пространстве является переменной: вблизи от центра тяготения свет идет медленнее. Стало быть, имеем задачу о распространении света в среде с переменной скоростью.

Тогда выходит, что мы не имеем права считать скорость "той же самой" чтобы искать приближение (т.к. она замедлена поблизости центра тяготения, что нужно учитывать)?
Т.е. мои сомнения про подстановки $u_c=u_m$ были основательными, и гибридная формула (у которой скорость считается малой, но зато подставляется непосредственно как есть) $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})}}}$ не обоснована как поправки для Ньютона
Правильно?

manul91 в сообщении #1542327 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1542177 писал(а):

Цитата:

Даже требование малости $\frac{u}{c}$ тут явно нигде не видно и опять же влияет только на величину констант (я думаю, что это условие автоматически необходимо для возможности пренебрежения членом $\frac{r_s}{r}m^2c^2$)

А этого я не понял. Член $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ вроде нигде не пренебрегается?

Это вы не откоментировали? Про пренебрежения $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ я полагаю просто ошибка, он же нигде не пренебрегается.
Если стоять на то что вы (довольно убедительно) обосновали, картинка выходит такая:

1) Если в ОТО пренебречь кривизну пространственной части метрики (взять 3d-плоскую при $t=const$), и далее точно решать по ОТО, то:
- получаем для геометрии орбит $\varphi(r)$ в ОТО ровно Ньютоново решение эллипс/гипербола/парабола (при этом никаких недоразумений быть не может так как пространственная часть в ОТО взята плоской, как у Ньютона). ОТО при таком пространстве-времени, не дает совершенно ничего нового для орбит
- при этом, у нас нет никаких ограничений на "малости скорости" включительно околосветовых; как у ОТО так и у Ньютона.

2) Если в ОТО НЕ пренебрегать кривизну пространственной части метрики и (не делать никаких других приближений, и далее точно решать по ОТО) то:
- получаем для геометрии орбит $\varphi(r)$ точное ОТО-шное решение (в данном искривленном пространстве-времени) с выражением $const_1+\frac{r_s}{r}m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}+\frac{r_sL^2}{r^3}$ под корнем. Оно отличается от 1) только дополнительным членом $\frac{r_sL^2}{r^3}$.
- Тем же самым совершенно точным выражением, пользуемся и для рассчета Ньютона "с поправкой". Единственная разница в том, что здесь неявно считаем что соответные круги постоянной координаты $r=const$ "нарисованы на плоскости" (а не "на параболоиде" как в ОТО).
- при этом, у нас опять нет никаких ограничений на "малости скорости" включительно околосветовых; как у ОТО так и у Ньютона. Получаем как отклонение для прецессии (совершенно точное), так и отклонение для угла околосветовых частиц (совершенно точное).

В итоге, оказывается константы полной энергии $E$ и $\varepsilon$ являются одни и теми же. Только $E$ это интеграл движения для случая с плоской пространственной метрики ОТО (или что все равно, случай чистой классики Ньютона), a $\varepsilon$ это интеграл движения при учете пространственной кривизны ОТО (или что все равно, это "новый" интеграл движения в Ньютоне при "поправкой" $\frac{r_sL^2}{r^3}$ введенной из-за того что гравитация оказалась не совсем такой как считалась прежде).
И, величина скорости ("мала" или "нет") роли не играет как в одном так и другом случае. Дополнительный член $\frac{r_sL^2}{r^3}$ "одинаково хорошо исправляет" Ньютона как для малых (прецессия) так и для больших (двойной угол отклонения) скоростей.
Все верно?

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1542327 писал(а):

А этого я не понял. Член $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ вроде нигде не пренебрегается?

Это я хотел тут написать $\frac{r_s}{r^3}L^2$, но ошибся.

manul91 в сообщении #1542354 писал(а):

Т.е. мои сомнения про подстановки $u_c=u_m$ были основательными, и гибридная формула (у которой скорость считается малой, но зато подставляется непосредственно как есть) $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})}}}$ не обоснована как поправки для Ньютона

Когда мы просто откидываем $\frac{r_s}{r^3}L^2$ (и пространство становится плоским, а время остается "искривленным") и приводим уравнение к вашему виду, то на месте $E_{classic}$ (если ничего не упрощать) получается:

$$E=\frac{mc^2}{2}(\frac{\frac{u^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{u^2}{c^2}})$$

А классическое выражение для энергии $E_{classic}=\frac{mu^2}{2}-\frac{GMm}{r}$, выраженное через $r_s$, дает:

$$E_{classic}=\frac{mc^2}{2}( \frac{u^2}{c^2}-\frac{r_s}{r})$$

Ясно, что в точности на орбите сохраняется именно величина $\frac{\frac{u^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{u^2}{c^2}}$, а не $\frac{u^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}$

Здесь везде $u=u_m$, т.е. это местная, а не координатная скорость. Попробуем подставить в выражение для классической энергии не местную, а координатную скорость (т.е. мы в классическом случае вроде как ничего не знаем о гравитационном замедлении времени и считаем, что существует одна только скорость - координатная, которую мы измеряем удаленными в бесконечность часами).
Координатная скорость в таком пространстве-времени равна $u_c=u_m(\sqrt{1-\frac{r_s}{r}})$. Тогда:

$$\frac{u_c^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}=\frac{u_m^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}\frac{u_m^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}$$

Если же использовать приближенное выражение для точной полной энергии, то:

$$\frac{\frac{u_m^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{u_m^2}{c^2}} \approx (\frac{u_m^2}{c^2}-\frac{r_s}{r})(1+\frac{u_m^2}{c^2})=\frac{u_m^2}{c^2}-\frac{r_s}{r}+\frac{u_m^4}{c^4}-\frac{r_s}{r}\frac{u_m^2}{c^2}$$

Видно, что классическая полная энергия, в которую подставлена "классическая" координатная скорость, совпадает с полной энергией ОТО (в которую подставлена местная скорость) с точностью до $\frac{u_m^4}{c^4}$ (если ничего не напутал). Соответственно, она сохраняется на орбите по крайней мере с этой точностью.

Так что классическая энергия неплохо сохраняется, если на орбите ее вычислять через координатную скорость.

Но можно и по другому эту задачу понимать. Мы знаем, что и в ОТО и в классическом случае есть такие сохраняющися константы, как полная энергия $E$ и момент импульса $L$. Мы так же знаем, где эти величины стоят в соответствующих уравнениях. Тогда задача формулируется так. Даны полная энергия $E$, момент импульса $L$ и начальный угол $\varphi$. Найти все точки $(r, \varphi)$, в которых $E$ и $L$ имеют те же значения (т.е. найти орбиту). Тогда разница между Ньютоном и ОТО только в члене $\frac{r_s}{r^3}L^2$. Скорость отсутствует. Думать о ней не нужно. Это и есть наша задача. Скорость же появляется позже, когда нам нужно определить, как тело будет двигаться по этой орбите. Здесь появляется разница.

manul91 в сообщении #1542354 писал(а):

1) Если в ОТО пренебречь кривизну пространственной части метрики (взять 3d-плоскую при $t=const$), и далее точно решать по ОТО, то:

Я думаю, что это верно. Форма уравнений полностью совпадает при условии, что $\frac{r_s}{r^3}$ всюду на орбите мало в сравнении с $\frac{1}{r^2}$. При этом если мы считаем полную энергию по формуле ОТО, то должны подставлять туда местную скорость, а если мы считаем ее по классической формуле - то координатную скорость.
Единственное отличие - это разные скорости движения по орбите. В уравнении ОТО можно задать какую угодно большую $E$, местная скорость (а тем более координатная) все равно останется меньше $c$. У Ньютона же с ростом $E$ координатная скорость неограничено возрастает. Так что форма орбит при равных $E$ и $L$ будет одинаковой, но скорость движения по ним будет разной.

manul91 в сообщении #1542354 писал(а):

2) Если в ОТО НЕ пренебрегать кривизну пространственной части метрики и (не делать никаких других приближений, и далее точно решать по ОТО) то:

Да. Опять же скорость движения по орбите будет разной, но сама орбита - одинаковой.