Killer Problem 12

[upgrade]

nnosipov в сообщении #1542044 писал(а):

Вот за такое моих студентов (и школьников) ожидали бы страшные кары дополнительные порции задач.

Там слева надо домножить и числитель и знаменатель на $k$, которое сразу и сократится - я так подумал.

[nnosipov]

upgrade в сообщении #1542045 писал(а):

я так подумал

Подумайте вот над чем: было у Вас одно уравнение, а Вы из него чудесным образом сделали два. Так не бывает.

Правильно было бы написать: $(x+y)^2=9k$, $x^3-y^3=7k$, где $k$ --- еще одно неизвестное.

[upgrade]

nnosipov
$\frac{x}{y}=\frac{7}{9}$

$x=7k$
$y=9k$
так же можно сделать?

[nnosipov]

upgrade в сообщении #1542047 писал(а):

так же можно сделать?

Да, я дописал выше.

[upgrade]

nnosipov в сообщении #1542046 писал(а):

Правильно было бы написать: $(x+y)^2=9k$, $x^3-y^3=7k$, где $k$ --- еще одно неизвестное.

так тоже правильно:
$k(x+y)^2=9$, $k(x^3-y^3)=7$

[nnosipov]

upgrade в сообщении #1542049 писал(а):

так тоже правильно:
$k(x+y)^2=9$, $k(x^3-y^3)=7$

Разумеется. Но что дальше?

[upgrade]

$\frac{k(x^3-y^3)}{k(x+y)^2}=\frac{7}{9}$

[nnosipov]

И? Почему $x+y=3$?

[upgrade]

nnosipov в сообщении #1542052 писал(а):

И? Почему $x+y=3$?

пусть $k=1$ тогда $k(x+y)^2=9, x+y=\pm 3$

[nnosipov]

upgrade в сообщении #1542053 писал(а):

пусть $k=1$

Да чего мелочиться? Пусть сразу $x=2$ и $y=1$.

Возможно, Вы не понимаете, но в алгебре слово "решить" означает не только найти какие-то решения, но и доказать, что других (кроме найденных) решений нет.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #1542037 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1542036 писал(а):

Замена

$$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$

Несколько искусственно.

Не несколько искусственно, а искусственно на полную катушку.
Ведь такая замена подразумевает $x-y=1$

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #1542057 писал(а):

Ведь такая замена подразумевает $x-y=1$

О, да, не заметил. Так, тогда этот вариант снимается.

[mihiv]

Из системы уравнений следует:$7y(x+y)^2=9y(x^3-y^3)$, сократим на $y$ и положим $x=ky$. Получим $y=\dfrac {7(k+1)^2}{9(k^3-1)}\eqno (1)$.
Из первого уравнения системы: $y^3(k+1)^2=9$, подставим сюда $y$ из (1) и получим $\dfrac {(k+1)^8}{(k^3-1)^3}=\dfrac {9^4}{7^3} \eqno (2).$
Покажем, что левая часть (2) убывает с ростом $k$. Ее можно представить как $\dfrac {(1+\frac 1k)^8}{k(1-\frac 1{k^3})^3}$, очевидно, что эта дробь убывает с ростом $k$. Таким образом уравнение (2) имеет единственный корень $k=2$ ,что соответствует $y=1, x=2$.

[nnosipov]

mihiv в сообщении #1542098 писал(а):

Покажем, что левая часть (2) убывает с ростом $k$.

Вот оно! Это короче, чем у меня, и даже без производных. Удивительно, как автор (I. Vardi) этого не заметил --- ведь он пришел ровно к тому же уравнению (2).

Мое решение таково. Заметим, что $y>0$ и $x>y$. Положим $x=3u-y$, где $u>0$. Так как $y=1/u^2$, то получим уравнение $f(u)=7$ с левой частью

$$ f(u)=27u-\frac{27}{u^2}+\frac{9}{u^5}-\frac{2}{u^8}. $$

Имеем $f(1)=7$. Можно попытаться доказать, что функция $f(u)$ возрастает при $u>0$. Действительно, для функции

$$ g(u)=-\frac{27}{u^2}+\frac{9}{u^5}-\frac{2}{u^8} $$

имеем

$$ g'(u)=\frac{54u^6-45u^3+16}{u^9}>0 $$

поскольку $45^2-4 \cdot 54 \cdot 16<0$. Значит, решение $u=1$ единственно.

[TOTAL]

В одну строку $\dfrac {y^4(x+y)^8}{y^3(x^3-y^3)^3}=\dfrac {9^4}{7^3}$, $k=\dfrac{y}{x+y}<\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac {k}{((1-k)^3-k^3)^3}=\dfrac {9^4}{7^3}$