2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:59 


07/08/14
4231
nnosipov в сообщении #1542044 писал(а):
Вот за такое моих студентов (и школьников) ожидали бы страшные кары дополнительные порции задач.
Там слева надо домножить и числитель и знаменатель на $k$, которое сразу и сократится - я так подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:02 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
upgrade в сообщении #1542045 писал(а):
я так подумал
Подумайте вот над чем: было у Вас одно уравнение, а Вы из него чудесным образом сделали два. Так не бывает.

Правильно было бы написать: $(x+y)^2=9k$, $x^3-y^3=7k$, где $k$ --- еще одно неизвестное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:07 


07/08/14
4231
nnosipov
$\frac{x}{y}=\frac{7}{9}$

$x=7k$
$y=9k$
так же можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
upgrade в сообщении #1542047 писал(а):
так же можно сделать?
Да, я дописал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:10 


07/08/14
4231
nnosipov в сообщении #1542046 писал(а):
Правильно было бы написать: $(x+y)^2=9k$, $x^3-y^3=7k$, где $k$ --- еще одно неизвестное.

так тоже правильно:
$k(x+y)^2=9$, $k(x^3-y^3)=7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:20 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
upgrade в сообщении #1542049 писал(а):
так тоже правильно:
$k(x+y)^2=9$, $k(x^3-y^3)=7$
Разумеется. Но что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:32 


07/08/14
4231
$\frac{k(x^3-y^3)}{k(x+y)^2}=\frac{7}{9}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
И? Почему $x+y=3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:44 


07/08/14
4231
nnosipov в сообщении #1542052 писал(а):
И? Почему $x+y=3$?

пусть $k=1$ тогда $k(x+y)^2=9, x+y=\pm 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 12:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
upgrade в сообщении #1542053 писал(а):
пусть $k=1$
Да чего мелочиться? Пусть сразу $x=2$ и $y=1$.

Возможно, Вы не понимаете, но в алгебре слово "решить" означает не только найти какие-то решения, но и доказать, что других (кроме найденных) решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
nnosipov в сообщении #1542037 писал(а):
TelmanStud в сообщении #1542036 писал(а):
Замена $$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$
Несколько искусственно.

Не несколько искусственно, а искусственно на полную катушку.
Ведь такая замена подразумевает $x-y=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 13:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
TOTAL в сообщении #1542057 писал(а):
Ведь такая замена подразумевает $x-y=1$
О, да, не заметил. Так, тогда этот вариант снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 18:54 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
Из системы уравнений следует:$7y(x+y)^2=9y(x^3-y^3)$, сократим на $y$ и положим $x=ky$. Получим $y=\dfrac {7(k+1)^2}{9(k^3-1)}\eqno  (1)$.
Из первого уравнения системы: $y^3(k+1)^2=9$, подставим сюда $y$ из (1) и получим $\dfrac {(k+1)^8}{(k^3-1)^3}=\dfrac {9^4}{7^3} \eqno (2).$
Покажем, что левая часть (2) убывает с ростом $k$. Ее можно представить как $\dfrac {(1+\frac 1k)^8}{k(1-\frac 1{k^3})^3}$, очевидно, что эта дробь убывает с ростом $k$. Таким образом уравнение (2) имеет единственный корень $k=2$ ,что соответствует $y=1, x=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 19:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
mihiv в сообщении #1542098 писал(а):
Покажем, что левая часть (2) убывает с ростом $k$.
Вот оно! Это короче, чем у меня, и даже без производных. Удивительно, как автор (I. Vardi) этого не заметил --- ведь он пришел ровно к тому же уравнению (2).

Мое решение таково. Заметим, что $y>0$ и $x>y$. Положим $x=3u-y$, где $u>0$. Так как $y=1/u^2$, то получим уравнение $f(u)=7$ с левой частью
$$
f(u)=27u-\frac{27}{u^2}+\frac{9}{u^5}-\frac{2}{u^8}.
$$
Имеем $f(1)=7$. Можно попытаться доказать, что функция $f(u)$ возрастает при $u>0$. Действительно, для функции
$$
g(u)=-\frac{27}{u^2}+\frac{9}{u^5}-\frac{2}{u^8}
$$
имеем
$$
g'(u)=\frac{54u^6-45u^3+16}{u^9}>0
$$
поскольку $45^2-4 \cdot 54 \cdot 16<0$. Значит, решение $u=1$ единственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение09.12.2021, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
В одну строку :mrgreen: $\dfrac {y^4(x+y)^8}{y^3(x^3-y^3)^3}=\dfrac {9^4}{7^3}$, $k=\dfrac{y}{x+y}<\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac {k}{((1-k)^3-k^3)^3}=\dfrac {9^4}{7^3}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group