Критерий сепарабельности метрического пространства

[Chernoknizhnik]

Один широко известный (в узких кругах) критерий сеперабельности метрического пространства звучит так: пространство, подразумеваемое несчетным, сепарабельно, если и только если всякое несчетное его подмножество имеет сколь угодно близкие точки. Утверждение "если сепарабельно, то..." почти очевидно, ибо сепарабельность здесь наследственна. А вот со второй частью возникают определенные проблемы. Можно ли упростить следующее док-во (в частности, убрать из него лемму Цорна - просто так, взять и убрать, без принципиальных соображений)? Привожу схему. Берем последовательность епсилонов, сходящуюся к нулю и для каждого такого эпсилон строим сеть, попарные расстояние между точками которой ограничены снизу соответствующим епсилон (здесь лемма Цорна), замечаем, что эта сеть счетна (следует из условия). Всё - объединяем их, имеем счетное плотное множество.

[Padawan]

Ну в Вашем доказательстве лемма Цорна по существу применяется. Просто так взять и убрать не получится, тогда доказательство менять надо.

[Chernoknizhnik]

Да, я об этом и говорю - привести доказательство без леммы Цорна. Наверное, не стоило приводить здесь это доказательство.

[wakeupnemo]

Поскольку лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора, без которой принципиально не получится построить доказательство несепарабельности, то вероятно такого доказательства не существует, либо вы будете использовать что-то эквивалентное.

[mihaild]

Совсем без аксиомы выбора не получится: если у $\mathbb R$ есть бесконечное конечное по Дедекинду подмножество (а без аксиомы выбора может быть), то оно несепарабельно, но любое его несчетное подмножество имеет в $\mathbb R$ предельную точку и, соответственно, сколь угодно близкие элементы.