2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий сепарабельности метрического пространства
Сообщение07.10.2012, 11:32 


01/09/12
174
Один широко известный (в узких кругах) критерий сеперабельности метрического пространства звучит так: пространство, подразумеваемое несчетным, сепарабельно, если и только если всякое несчетное его подмножество имеет сколь угодно близкие точки. Утверждение "если сепарабельно, то..." почти очевидно, ибо сепарабельность здесь наследственна. А вот со второй частью возникают определенные проблемы. Можно ли упростить следующее док-во (в частности, убрать из него лемму Цорна - просто так, взять и убрать, без принципиальных соображений)? Привожу схему. Берем последовательность епсилонов, сходящуюся к нулю и для каждого такого эпсилон строим сеть, попарные расстояние между точками которой ограничены снизу соответствующим епсилон (здесь лемма Цорна), замечаем, что эта сеть счетна (следует из условия). Всё - объединяем их, имеем счетное плотное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сепарабельности метрического пространства
Сообщение08.10.2012, 12:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Ну в Вашем доказательстве лемма Цорна по существу применяется. Просто так взять и убрать не получится, тогда доказательство менять надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сепарабельности метрического пространства
Сообщение08.10.2012, 17:37 


01/09/12
174
Да, я об этом и говорю - привести доказательство без леммы Цорна. Наверное, не стоило приводить здесь это доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сепарабельности метрического пространства
Сообщение07.12.2021, 17:18 


12/10/19
3
Поскольку лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора, без которой принципиально не получится построить доказательство несепарабельности, то вероятно такого доказательства не существует, либо вы будете использовать что-то эквивалентное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий сепарабельности метрического пространства
Сообщение08.12.2021, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8349
Цюрих
Совсем без аксиомы выбора не получится: если у $\mathbb R$ есть бесконечное конечное по Дедекинду подмножество (а без аксиомы выбора может быть), то оно несепарабельно, но любое его несчетное подмножество имеет в $\mathbb R$ предельную точку и, соответственно, сколь угодно близкие элементы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group