Свет в неоднородной среде (Савченко 13.2.12.)

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1541946 писал(а):

По простым оценкам получается, что дотянет. На Венере $n_0-1$ раз в 60 больше, чем на Земле, и выходит, что луч должен ходить по кругу на высоте примерно 25 км (в предположении изотермической атмосферы).

Кхм... а покажите, как. У меня не получается.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1541948 писал(а):

Кхм... а покажите, как.

Обозначим радиус планеты $R$, требуемую высоту $h$. Условие записывается в виде

$$\frac{d[(R+h)h(h)]}{dh}=0.$$

Считаем $n=1+(n_0-1)\exp(-h/H)$, где $H=RT/(\mu g)$ - характерная высота изотермической атмосферы. Беря производную, получаем уравнение

$$\frac{1}{n_0-1}=\frac{R+h-H}{H}\exp(-h/H).$$

Поскольку $h,H\ll R$, пренебрежем ими в числителе последней дроби, тогда выходит

$$h\approx H\ln\left(\frac{(n_0-1)R}{H}\right).$$

Для Венеры (740 К, 90 атмосфер, углекислый газ) под логарифмом получается примерно 8.

[Pphantom]

Да, спасибо. Все оказалось просто: я ошибся под логарифмом на порядок.

[intex2dx]

Возник ещё побочный вопрос: в принципе Ферма мы фиксируем две точки и говорим, что оптическая длина пути между ними должна быть экстремальной по сравнению с любым другим путём, отличающимся от данного на величины 1-го порядка малости. Получается, действительный путь луча есть путь по дуге окружности, а "альтернативный" путь, который по принципу Ферма в линейном приближении должен от действительного не отличаться по оптической длине, - путь, где мы сначала идём по радиусу на бесконечно малую первого порядка $dh$, потом по дуге радиуса $h-dh$, затем опять по радиусу до конечной точки? (при этом в линейном приближении оптические длины путей по радиусам сразу уходят, и можно дифференцировать только $n(r)r$. Только вот почему они должны уйти, если они, вроде бесконечно малые первого порядка)

[lel0lel]

Дуга может быть выбрана произвольной длины, сколь угодно большое число оборотов. Отсюда следует экстремальность длины оптического пути именно по дуге.