Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой

над ее поверхностью по закону

при

. На какой высоте

над поверхностью планеты луч света, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь на этой высоте? Радиус планеты

.
Как я решал эту задачу (вроде бы, стандартное решение для такой задачи): Пусть луч переходит из сферического слоя с показателем преломления

в слой с показателем преломления

(рис.1). Тогда по з. преломления:

По т. синусов имеем:

Выражая отсюда

, получим с учётом закона преломления:

то есть

. Можно дальше даже исследовать зависимость

: до значения

он убывает, потом растёт до

, но, в итоге, если записать инвариант:

, получим, что высота, на которой

снова достигает значения

равна

. Дальше ничего не меняется, и луч огибает планету, ибо он стремится увеличивать

, то есть увеличивать

выше

.
Ответ в задачнике в 2 раза меньше. Более того, видел в интернете другой способ решения: там говорится, что на искомой высоте фронт световой волны должен быть параллелен радиус-вектору точки, в которой её рассматриваем (рис.2), то есть при высоте h вблизи искомого значения H верно:

То есть мы приравниваем оптические длины двух близких лучей, огибающих планету. Если дифференцировать это уравнение, то получим ответ из задачника.
Какой в итоге ответ верный и почему?
