Связь формул ОТО и классической траектории

[manul91]

kzv в сообщении #1541619 писал(а):

Правда хотелось бы кинетическую энергию убрать из вторых скобок. Оставить только:
$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2} +\frac{r_s}{r} \frac{L^2}{r^2}}}}$.
Не сильно ли это на результат повлияет? Получу ли я орбиту Меркурия в итоге? Просто не хотелось бы в пустую бесполезные вычисления делать :)

Как сказал несколько раз, члены $2m(E_{classic}-U_{classic})=2mE_{kin}$ и $\frac{L^2}{r^2}$ одного порядка.
Поэтому, убирая $2m(E_{classic}-U_{classic})$ из вторых скобок, вы имхо потеряете "половину поправки" (на тех участках траектории где кин.энергия побольше, там где она ближе к нулю "почти ничего" не потеряете).

Оно конечно, опять будет слабо отклоняться от классической эллиптической траектории - но вот так не соображу будет ли "ближе" к реальной траектории, или просто "испортит классическую".
Но ведь никаких особых "дополнительных вычислений" не надо чтобы учесть полную поправку, которая заведомо будет "еще ближе" к "реальной" траектории?
В чем проблема пользоваться $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})}}}$ учитывая всю поправку?

-- 04.12.2021, 21:07 --

Кстати, если считать/рисовать руками, лучше имхо обратить формулу.
Вместо $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})}}}$ лучше пользоваться
$dr = \frac{r^2\sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(2m(E_{classic}-U_{classic}) - \frac{L^2}{r^2})} d\varphi}{L}$
Таким образом будете перевычислять $r$ меняя $\varphi$ шажками, что более естественно для "типа элипсообразных"/самопересекающихся линий, чем наоборот.
Еще нужно оставаться в рамки допущений при которых найдено приближение; т.е. нужно взять $\frac{r_s}{r}\ll1$ и $L, E$ должны быть так подобраны, чтобы по мере вычислений соблюдалось $\frac{v}{c}\ll1$. Если это не соблюдать то получите какую-то кривую, но с траекторию в ОТО у ней будет мало общего.

[sergey zhukov]

manul91
Да, с пределами и пренебрежениями нужно аккуратно обращаться. Самый простой игрушечный пример $\frac{100-100+0,1}{0,1}$. Это выражение равно 0, если пренебречь малым 0,1 в числителе и равно 10, если не пренебрегать им. Здесь в числителе у нас три слагаемых, причем одно из них 0,1 явно пренебрежимо мало в сравнении с двумя другими. Проблема в том, что разность двух больших величин может быть бесконечно малой величиной любого порядка малости. Поэтому на самом деле пренебречь то иногда нужно именно двумя большими величинами (т.е. их разностью), а вовсе не 0,1. Все это бывает не так очевидно в сложных случаях.

В нашем случае главная ошибка (моя по крайней мере) была в том, что я подставлял на место $E_{OTO}$ выражение $E_{OTO}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ просто наугад, не зная, что вообще-то это есть предел выражения для $E_{OTO}$ при $r_s \to 0$. Если бы я знал с самого начала правильное выражение для $E_{OTO}$, то подставил бы его в точную формулу без упрощений. Тогда под корнем получилось бы:

$$(m^2u^2(\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}})-\frac{L^2}{r^2})(1-\frac{r_s}{r})$$

Здесь уже довольно прозрачно можно положить $r_s=0$ и получить:

$$m^2u^2(\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}})-\frac{L^2}{r^2}=p_{sto}^2-\frac{L^2}{r^2}$$

(Это все manul91 уже выше хорошо написал).

Как видно, при $r_s=0$ тут остается еще влияние чистой СТО: на месте квадрата классического импульса стоит квадрат релятивистского импульса. Но чтобы избавиться от импульса и получить уравнение орбиты, нам нужно выразить этот импульс через $r$, т.е. использовать закон сохранения энергии, в который тоже входит теперь релятивистский импульс вместо классического $\frac{p_{sto}^2}{2m}-\frac{GMm}{r}=const$. Так что уравнение орбиты никак не меняется от того, берем ли мы классический или релятивистский импульс и соблюдается ли $\frac{u}{c}<<1$. Меняется только скорость движения тела по орбите. В классическом случае она может вблизи тяготеющего центра быть как угодно высока и даже превышать скорость света. А в релятивистском скорость тела на орбите нигде не будет превышать $c$.

По моему, даже в случае, если $r_s\ne 0$, кривая движения тела не зависит от величины отношения $\frac{u}{c}$. Потому, что от этого соотношения зависит только полная энергия тела, которая будет константой на протяжении всего расчета. Так что, я думаю, довольно легко можно посчитать форму всевозможных орбит, в том числе и самых экстремальных (пока работает приближение пробного тела, конечно).

[manul91]

sergey zhukov

Все правильно и со всем в целом согласен... Только несколько несущественных замечаний;)

sergey zhukov в сообщении #1541627 писал(а):

Здесь уже довольно прозрачно можно положить $r_s=0$ и получить:

Все же лучше, для нашего случая, таким образом: "положить $r_s=0$" - не писать.

Ведь $r_s=0$ переводится как "выключаем полностью гравитацию"/"убираем центрального тела" - а в нашем случае мы этого как раз все-таки НЕ делаем; мы наоборот хотим остаться с гравитацией, хотя и "слабой" (в смысле далеко от грав. радиуса).

Лучше писать либо " $\frac{r_s}{r} \ll 1$ и поэтому пренебрегаем множитель $\frac{r}{r_s}$", либо $\frac{r_s}{r} \to 0$ или в худшем случае "полагаем $\frac{r_s}{r}=0$".

У нас случай $\frac{r_s}{r} \ll 1$, и $\frac{r_s}{r} \to 0$ "переводится" как "пробное тело находится намного дальше, чем гравитационный радиус тяготеющего тела" (а не то, что насовсем убрали гравитацию). Поэтому между $r_s=0$ и $\frac{r_s}{r} \to 0$ в этом смысле, разница есть.

Правда, тот факт что мы в данном случае позволяем себе полностью неучитывать члены в первом порядке по $\frac{r_s}{r}$, т.е. что $r_s$ при этом начисто исчезает из данном уравнении - крайне неинтуитивен (человек думает "что здесь происходит, а не исключили ли мы все-таки полностью гравитацию если $r_s$ под никаком соусом не осталось?").
Но если сообразить что там все же сидит скорость/импульс - а они отдельно связаны с полем через интегралами сохранения - то все в порядке.

sergey zhukov в сообщении #1541627 писал(а):

Так что уравнение орбиты никак не меняется от того, берем ли мы классический или релятивистский импульс. Меняется только скорость движения тела по орбите. В классическом случае она может вблизи тяготеющего центра быть как угодно высока и даже превышать скорость света. А в релятивистском скорость тела на орбите нигде не будет превышать $c$.

Все верно....
Но обязательно нужно не забывать делать присказки на $\frac{v}{c} \ll 1$ (если мы говорим о приближенном уравнении).
И на $\frac{r_s}{r} \ll 1$ т.е. "пробное тело находится намного дальше, чем гравитационный радиус тяготеющего тела". Ведь если $\frac{r_s}{r} \sim 1$ то все вообще несоотносимо, т.к. у ОТО-шных координат и времени шварцшильда уже вовсе не тот метрический смысл как в Ньютоне; не говоря уже про $\frac{r_s}{r} \geq 1$ (под гравитационным радиусом) где координаты шварцшильда вообще негодны.

-- 04.12.2021, 22:36 --

sergey zhukov в сообщении #1541627 писал(а):

Так что, я думаю, довольно легко можно посчитать форму всевозможных орбит, в том числе и самых экстремальных (пока работает приближение пробного тела, конечно).

Нет, "самых экстремальных" не получится.
Одно, что при $\frac{r_s}{r}$ ближе к 1 все несоотносимо - хотя и "посчитать" можно, но "нарисовать" просто так нельзя.
У ОТО-шных координат, времени и скоростей шварцшильда там уже вовсе не тот метрический смысл как в Ньютоне; напр. если $r$ возрастает на $dr$ то периметр "круга радиусом $r$" не возрастает с $2\pi r$ на $2\pi dr$; это на обычной поверхности вложенной в плоское 3d не отобразишь.
Второе, не говоря уже про $\frac{r_s}{r} \geq 1$ (под гравитационным радиусом) где координаты шварцшильда вообще негодны - в этой области скорее всего исходную OTO-шную формулу в таком виде вообще нельзя использовать; нужно переходить к других радиальных координат (сопутствующих). Хотя пробное тело и под горизонтом пройдет...

[sergey zhukov]

manul91
Ок, считаем при переходе к классической формуле, что просто $\frac{r_s}{r}<<1$.

Условие же $\frac{u}{c}<<1$, как я посмотрю, возникает только по причине приближения $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}} \sim 1+\frac{u^2}{c^2}$, без которого совершенно спокойно можно обойтись вообще без проблем. Но, конечно, если мы хотим непременно считать кинетическую энергию, как $\frac{mv^2}{2}$, то без этого не обойтись.

Да, координата $r$, которая входит в нашу формулу, и расстояние $r$, которое в нашу формулу не входит - это не одно и то же. Второе больше первого в координатах Шварцшильдта. Для выдерживания метрики рисовать траекторию нужно на параболоиде Фламма (кстати, пространственная часть метрики пространства-времени Шварцшильдта как раз соответствует этой искривленной поверхности, вложенной в 3d. Разве нет?).
Это я понимаю. Обычно все равно рисуют функцию $r=r(\varphi)$ в полярных координатах на плоскости. Все же лучше, чем ничего.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1541633 писал(а):

manul91
Ок, считаем при переходе к классической формуле, что просто $\frac{r_s}{r}<<1$.
Условие же $\frac{u}{c}<<1$, как я посмотрю, возникает только по причине приближения $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}} \sim 1+\frac{u^2}{c^2}$, без которого совершенно спокойно можно обойтись вообще без проблем. Но, конечно, если мы хотим непременно считать кинетическую энергию, как $\frac{mv^2}{2}$, то без этого не обойтись.

Совершенно верно.
Приближение $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}} \sim 1+\frac{u^2}{c^2}$ нам "нужно было", только потому что мы "хотели увидеть как получить Ньютонову формулу из ОТО-шной" (потом хотелки сменились чтобы рисовать орбиту Меркурия и это приближение уже оказалось ненужным, ну да ладно).
Иначе всегда можно (и лучше) считать точно. При $\frac{u}{c} \sim 1$ Ньютонова формула/орбита заведомо не верна, даже если выполняется $\frac{r_s}{r}<<1$ (отклонение частиц с околосветовых скоростей из-за гравитацией звезды например).

-- 04.12.2021, 23:08 --

sergey zhukov в сообщении #1541633 писал(а):

Для выдерживания метрики рисовать траекторию нужно на параболоиде Фламма (кстати, пространственная часть метрики пространства-времени Шварцшильдта как раз соответствует этой искривленной поверхности, вложенной в 3d. Разве нет?).

Да, рисовать на параболоиде Фламма отличная идея. Вы правы так отобразить траекторию на гиперболическом 2d получится (вплоть до грав. радиуса), ибо "время нас не интересует" (...и постольку, поскольку орбита свободного пробного тела из-за симметрии лежит в одной плоскости. Но если снабдить пробного тела двигателями чтобы шастало и поперек в 3d, уже нельзя будет. Ну это разумеется уже не имеет ничего общего с исходной задачи).

[kzv]

Тогда я попробую собрать все вместе в одном посте и вывести приближенную формулу для вычисления орбиты Меркурия.
За основу берется точная формула для орбиты тела массы $m$ в центрально-симметричном гравитационном поле:

$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{c^2}-(1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2+\frac{L^2}{r^2})} }}$

где

$\varepsilon=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{mc^2\sqrt{(1-\frac{r_s}{r})}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$ - полная энергия тела в центрально-симметричном гравитационном поле

Возведем энергию в квадрат и разложим получившееся выражение в ряд по степеням $\frac{V}{c}$:

$\varepsilon^2=\frac{m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{V^2}{c^2}}\approx m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})(1+\frac{V^2}{c^2})$

Здесь похоже нельзя пренебрегать членами третьего порядка малости, то есть нельзя считать, что $\frac{r_s}{r}\frac{V^2}{c^2}=0$. Иначе в результирующей формуле потеряется малая поправка к кинетической энергии.

Подставляем значит целиком эту энергию в первую формулу, получаем приближенное выражение, где учтено только $\frac{V}{c}<<1$

$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{m^2c^2(1-\frac{r_s}{r})(1+\frac{V^2}{c^2})-(1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2+\frac{L^2}{r^2})} }}=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2+m^2V^2 - m^2c^2 - \frac{L^2}{r^2}) } }}$

Отсюда получаем формулу через классические величины с учетом поправки. связанной с криволинейностью пространства:

$\varphi=\int \frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(m^2V^2-\frac{L^2}{r^2}) - \frac{r_s}{r}(m^2V^2-\frac{L^2}{r^2})} }$

Еще раз заметим, что в этой формуле нигде не использовалось допущение о малости отношения $\frac{r_s}{r}$. То есть оно может быть любым, в пределах справедливости решения Шварцшильда.

Теперь, однако, чтобы эту формулу интегрировать, надо скорость как-то выразить через радиус. Для этого квадрат импульса выразим через энергию:

$m^2V^2=2mT=2m(E-U(r))$

где
$E$ - это полная энергия тела, в приближении $\frac{V}{c}<<1$.
$U(r)=\frac{\operatorname{const}}{r}$ - потенциальная энергия тела в поле силы тяжести.

Вот только тут, когда мы вводим в рассмотрение потенциальную энергию в таком виде, мы полагаем, что поле слабое. Это соответствует $\frac{r_s}{r}<<1$

Окончательно получаем вид формулы для орбиты со всеми поправками:

$\varphi=\int \frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(2m(E-\frac{\operatorname{const}}{r})-\frac{L^2}{r^2}) - \frac{r_s}{r}(2m(E-\frac{\operatorname{const}}{r})-\frac{L^2}{r^2})} }$

Аналитически этот интеграл вряд ли возьмется. Во всяком случае мне самому точно не взять. Попробую в ряд что-нибудь разложить наверное. Но это уже другая тема ))

[manul91]

kzv в сообщении #1541639 писал(а):

.....Отсюда получаем формулу через классические величины с учетом поправки. связанной с криволинейностью пространства:
$\varphi=\int \frac {Ldr} {r^2 \sqrt{(m^2V^2-\frac{L^2}{r^2}) - \frac{r_s}{r}(m^2V^2-\frac{L^2}{r^2})} }$
Еще раз заметим, что в этой формуле нигде не использовалось допущение о малости отношения $\frac{r_s}{r}$. То есть оно может быть любым, в пределах справедливости решения Шварцшильда.

До сих пор все верно (но мы использовали допущение $\frac{V}{c}<<1$ так что если это почему-то не выполняется на каких-то мест траектории - а это зависит от исходного выбора $E$, $L$ и т.д, то она уже не будет хорошим приближением).

kzv в сообщении #1541639 писал(а):

...Теперь, однако, чтобы эту формулу интегрировать, надо скорость как-то выразить через радиус. Для этого квадрат импульса выразим через энергию:

$m^2V^2=2mT=2m(E-U(r))$

где
$E$ - это полная энергия тела, в приближении $\frac{V}{c}<<1$.
$U(r)=\frac{\operatorname{const}}{r}$ - потенциальная энергия тела в поле силы тяжести.

Вот только тут, когда мы вводим в рассмотрение потенциальную энергию в таком виде, мы полагаем, что поле слабое....

Нет... не так. Имхо лучше (и безопаснее) допустить что $\frac{r_s}{r}<<1$ ("поле слабое", "тело находится очень далеко от гравитационного радиуса") еще прежде чем записывать выражение $m^2V^2=2mT=2m(E-U(r))$.
На самом деле, правильнее писать $m^2V^2 \approx 2mT=2m(E-U(r))$.

Это потому что хотя "буковки" те же самые, но метрический смысл координат $r, \varphi, t$ (а значит и их производных типа $v = \sqrt{r^2(\frac{d\varphi}{dt})^2 + (\frac{dr}{dt})^2}$ ) будет заведомо отличаться от Ньютоновых при $\frac{r_s}{r} \sim 1$.
Короче говоря, если $\frac{r_s}{r} \sim 1$, то выражение $m^2v^2$ уже не "квадрат ньютоновской массы помноженный на квадрат ньютоновской скорости", а "черт знает что" (из-за буковки скорости, у которой все еще смысл по ЛЛ 8.9, а не ньютоновский).
А если $\frac{r_s}{r} \ll 1$, то мы можем сказать "а координаты-то те же самые", и значит $m^2v^2$ это и есть "квадрат ньютоновской массы помноженный на квадрат ньютоновской скорости" а значит его можно заменить на $m^2v^2=2mT_{newton}=2m(E_{newton}-U_{newton}(r))$.

kzv в сообщении #1541639 писал(а):

налитически этот интеграл вряд ли возьмется. Во всяком случае мне самому точно не взять. Попробую в ряд что-нибудь разложить наверное. Но это уже другая тема ))

А компютеры на что?
Могу порекомендовать книжку Exploring black holes: introduction to general relativity Author(s): Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler по теме, минимум необходимой математики:).

[sergey zhukov]

manul91
Подумал еще немного над случаем $r_s \to 0$. Похоже, вот в чем проблема.

Уравнение орбиты:
$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{c^2}-(1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2+\frac{L^2}{r^2})} }}$
дает однозначную орбиту только тогда, когда в нем все величины либо $const$, либо зависят только от $r$. Это вполне понятно, т.к. отсюда мы должы получить $\varphi=\varphi(r)$.


Но $\varepsilon^2=\frac{m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{u^2}{c^2}}$ зависит еще и от скорости $u$, так что, вообще говоря, к уравнению орбиты следует добавить еще $u=u(r)$, иначе $\varphi=\varphi(r)$ не получить.

Нам наперед известно, что $\varepsilon=const$, это условие и определяет вид $u=u(r)$, а именно: $u^2=\frac{c^2}{\varepsilon^2}(\varepsilon^2-m^2c^4(1-\frac{r_s}{r}))$

Если теперь положить $r_s=0$, то из уравнения $u=u(r)$ следует $u=const$, а уравнение орбиты превращается в уравнение прямой - т.е. орбиты в отсутствии гравитации. Т.е. действительно, $r_s=0$ совершенно корректно выключает гравитацию.

Выше я думал, что есть некоторое промежуточное приближение, при котором пространство-время уже плоское $r_s=0$ и имеет место классическая гравитация, но импульс тела уже релятивистский $p^2=\frac{m^2u^2}{1-\frac{u^2}{c^2}}$. Это представлялось, как движение по классической эллиптической орбите, но с ограничением на скорость, вытекающим из СТО.

В общем, так и оказалось, но только для одной единственной орбиты - прямой. Т.е. если пренебрегать $\frac{r_s}{r}$, то орбита - это всегда прямая линия. При этом не важно, пренебрегаем ли мы или нет $\frac{u^2}{c^2}$. Уравнение орбиты содержит решение и без гравитации. Его мы и получаем всегда, когда полагаем $r_s=0$.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542013 писал(а):

Уравнение орбиты:
$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{c^2}-(1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2+\frac{L^2}{r^2})} }}$
дает однозначную орбиту только тогда, когда в нем все величины либо $const$, либо зависят только от $r$. Это вполне понятно, т.к. отсюда мы должы получить $\varphi=\varphi(r)$.

Так в нем и так уже все величины кроме $r,\varphi$ являются константами.
В этим уравнением, "переменные величины" это только $\varphi$ и $r$. Все остальное: $\varepsilon, L, c, m, r_s$ - константы (либо константы задачи, либо физические как $c$).

sergey zhukov в сообщении #1542013 писал(а):

Но $\varepsilon^2=\frac{m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{u^2}{c^2}}$ зависит еще и от скорости $u$, так что, вообще говоря, к уравнению орбиты следует добавить еще $u=u(r)$, иначе $\varphi=\varphi(r)$ не получить.

Не думаю, что коректно говорить что $\varepsilon$ от чего-либо "зависит" - ибо $\varepsilon$ константа.
Как и $L$, $\varepsilon$ является интегралом движения - это константы которые не меняются по мере движения (падения) пробното тела - на отличие от $r,v,\varphi$ которые меняются, и в этом смысле являются "переменными" на траектории.
Но да, уравнение $\varepsilon^2=\frac{m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{u^2}{c^2}}$ связывает переменные $r$ и $v$ через константу $\varepsilon$.
Оно является "аналогом" того же "дополнительного" уравнения в классике, где переменные $r$ и $v$ связаны через константу полной энергии (через закона сохранения энергии $E_{full}=const=E_{kin} + U$).
Но "подставлять" в исходном точном уравнении вместо $\varepsilon$ ничего не необходимо, $\varepsilon$ итак константа. Можете считать, что оно наперед заданное число (константа задачи).
Мы "подставляли" $\varepsilon$ только потому, что у нас цель была другая - мы не хотели решать точное ОТОшное уравнение как есть, мы хотели "переходить" почему-то к "классических"-приближенных величин (получить приближенное "уравнение-гибрид" в котором участвуют как классические величины, так и грав. радиус).

Дальнейшие рассуждения не совсем понятны...
Но да - подстановка $r_s=\frac{2GM}{c^2}=0$ разумеется должна выключать гравитацию. Тогда уравнение должно обратить $\varphi(r)$ в уравнение прямой в полярных координат, константы задачи ($E$, $L$) определят конкретную прямую.
Тоже самое (уравнение прямой в полярных координат) должно получиться если в аналогичном Ньютоновом уравнении занулим потенциал (положим $M=0$).

[sergey zhukov]

manul91
Да. Я в общем хотел сказать, что нет никаких проблем положить в уравнении орбиты $r_s=0$. При этом действительно гравитация исчезает и орбита вырождается с прямую.

Вот почему хорошо работает подстановка $r_s=0$ и $\varepsilon=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ - она действительно приводит к классическому уравнению орбиты, которая является вырожденной для случая нулевой массы тяготеющего центра.

Я сначала не мог понять, почему мы все равно получаем орбиту, если берем $r_s=0$. Теперь ясно: в этом случае мы и получаем "орбиту" в виде прямой.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1542013 писал(а):

Выше я думал, что есть некоторое промежуточное приближение, при котором пространство-время уже плоское $r_s=0$ и имеет место классическая гравитация, но импульс тела уже релятивистский $p^2=\frac{m^2u^2}{1-\frac{u^2}{c^2}}$. Это представлялось, как движение по классической эллиптической орбите, но с ограничением на скорость, вытекающим из СТО.

Когда мы сначала разложили в точной ОТОшной формуле по степеням $\frac{v}{c}$ и удержали только первые два члена (полагая $v\ll c$), то получили приближение с "ограничениям на скорость", но именно в ОТО в кривом пространстве-времени (не в классике).
Потом, когда мы сказали мантру $r_s<<r$ (мы в регионе далеко от гравитирующего тела, гравитация достаточно слаба), то получили "право считать" что в такой окрестности у нас координаты (и соответно скорости) по смыслу почти классические (пространство-время почти плоско - см. параболоид Фламма далеко от "дырки"). И соответно "получили право" далее выражать $v$ через по-смыслу классических величин в этой области (т.е. через классической буковки для кин. энергии/импульса, и соответно далее выразить ее через буковок для классической полной и потенциальной энергии). В результате, получили формулу-гибрид полуклассического приближения (классическая траектория с коррекцией).
Если далее вообще не учитывать малую поправку $\frac{r_s}{r}$ считая ее нулем (но продолжать учитывать классическую буковку $U$), то уже получим чисто классическую траекторию.

Тут меня несколько смущает только один момент.
Подставляя в "почти классической области" $r_s<<r$ точные классические величины через $v$, мы все-таки чуть чуть ошибаемся. И неясно как эта "малая ошибка подстановки" соотносится с малой поправки члена с $\frac{r_s}{r}$.... она может как ее "компенсировать" так и "усиливать"?
Вобщем, я не на 100% уверен что тут все правильно без дополнительных рассуждений/обоснований.
По моему нужно как-то показать/обосновать, что "ошибка координатной подстановки" с чисто классическими выражениями, меньшего порядка (пренебрежима) по отношению малой поправки члена с $\frac{r_s}{r}$.

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1542020 писал(а):

Если далее вообще не учитывать малую поправку $\frac{r_s}{r}$ считая ее нулем (но продолжать учитывать классическую буковку $U$), то уже получим чисто классическую траекторию.

Вот эта классическая траектория в этом случае всегда будет прямой.

Насчет $u$ у нас есть две проблемы, как я вижу:

Первая - это следствие приближения $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}} \approx 1+\frac{u^2}{c^2}$, т.е. даже еще более просто $\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}\approx 1$. Это потребовалось нам, чтобы выделить $\frac{mu^2}{2}$. Поэтому в точном подкоренном выражении мы получаем:

$$(\frac{m^2u^2}{1-\frac{u^2}{c^2}}-\frac{L^2}{r^2})(1-\frac{r_s}{r}) \approx (m^2u^2-\frac{L^2}{r^2})(1-\frac{r_s}{r})$$

В этом приближении никаких подводных камней вроде нет. Просто медленное движение в кривом пространстве-времени. При этом у нас в каждой точке пространства-времени координатная длина и координатное время равны собственной длине и собственному времени любого наблюдателя в этой точке. Нет сокращения размеров и замедления времени движущегося наблюдателя.

Вторая - это замена местных истинных $dl_m$ и $dt_m$, соответствующих местным линейкам и часам в кривом пространстве-времени, на координатные $dl_c$ и $dt_c$. Ясно, что $dl_m$ и $dt_m$ - это функции координат и метрического тензора, а $dl_c$ и $dt_c$ - это функции одних только координат. Конечно $u_m=\frac{dl_m}{dt_m}$ и $u_c=\frac{dl_c}{dt_c}$ - это не одно и то же.

Я так понял, что сомнение в замене $u_m$ на $u_c$? Но ведь в формулу для орбиты скорость тела в итоге войдет только через полную энергию, которая постоянна. Ее один только раз нужно правильно вычислить Т.е. достаточно только один раз правильно подсчитать $u_m$ в начальной точке, а дальше забыть про скорость вообще.

[kzv]

Может кто-то знают конкретную статью, где впервые орбита Меркурия считалась? Хотелось бы посмотреть, по какой формуле там это делалось.

[Someone]

kzv
Видимо, это статья А. Эйнштейна "Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности", вышедшей в 1915 году. Русский перевод есть в первом томе собрания научных трудов А. Эйнштейна, изданном в 1965-1967 годах.

Там в ряде формул есть опечатки, но разобраться можно.

[kzv]

Someone
Спасибо!