sergey zhukovВсе правильно и со всем в целом согласен... Только несколько несущественных замечаний;)
Здесь уже довольно прозрачно можно положить

и получить:
Все же лучше, для нашего случая, таким образом: "положить

" - не писать.
Ведь

переводится как "выключаем полностью гравитацию"/"убираем центрального тела" - а в нашем случае мы этого как раз все-таки НЕ делаем; мы наоборот хотим остаться с гравитацией, хотя и "слабой" (в смысле далеко от грав. радиуса).
Лучше писать либо
"
и поэтому пренебрегаем множитель
", либо

или в худшем случае
"полагаем
".
У нас случай

, и

"переводится" как "пробное тело находится намного дальше, чем гравитационный радиус тяготеющего тела" (а не то, что насовсем убрали гравитацию). Поэтому между

и

в этом смысле, разница есть.
Правда, тот факт что мы в данном случае позволяем себе полностью неучитывать члены в первом порядке по

, т.е. что

при этом начисто исчезает из данном уравнении - крайне неинтуитивен (человек думает "что здесь происходит, а не исключили ли мы все-таки полностью гравитацию если

под никаком соусом не осталось?").
Но если сообразить что там все же сидит скорость/импульс - а они отдельно связаны с полем через интегралами сохранения - то все в порядке.
Так что уравнение орбиты никак не меняется от того, берем ли мы классический или релятивистский импульс. Меняется только скорость движения тела по орбите. В классическом случае она может вблизи тяготеющего центра быть как угодно высока и даже превышать скорость света. А в релятивистском скорость тела на орбите нигде не будет превышать

.
Все верно....
Но обязательно нужно не забывать делать присказки на

(если мы говорим о приближенном уравнении).
И на

т.е. "пробное тело находится намного дальше, чем гравитационный радиус тяготеющего тела". Ведь если

то все вообще несоотносимо, т.к. у ОТО-шных координат и времени шварцшильда уже вовсе не тот метрический смысл как в Ньютоне; не говоря уже про

(под гравитационным радиусом) где координаты шварцшильда вообще негодны.
-- 04.12.2021, 22:36 --Так что, я думаю, довольно легко можно посчитать форму всевозможных орбит, в том числе и самых экстремальных (пока работает приближение пробного тела, конечно).
Нет, "самых экстремальных" не получится.
Одно, что при

ближе к 1 все несоотносимо - хотя и "посчитать" можно, но "нарисовать" просто так нельзя.
У ОТО-шных координат, времени и скоростей шварцшильда там уже вовсе не тот метрический смысл как в Ньютоне; напр. если

возрастает на

то периметр "круга радиусом

" не возрастает с

на

; это на обычной поверхности вложенной в плоское 3d не отобразишь.
Второе, не говоря уже про

(под гравитационным радиусом) где координаты шварцшильда вообще негодны - в этой области скорее всего исходную OTO-шную формулу в таком виде вообще нельзя использовать; нужно переходить к других радиальных координат (сопутствующих). Хотя пробное тело и под горизонтом пройдет...