Втекание жидкости в канал

[Saxartur]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей:

Показать, что комплексный потенциал $w(z)$, удовлетворяющий уравнению $z=w+e^w$, описывает движение жидкости, втекающей из открытого пространства в канал, ограниченный двумя тонкими параллельными стенками.

Собственно говоря мы имеем комплексный потенциал $w$, т.ч. : $z=w+e^w$. Тогда распишем действительную и мнимую часть этого уравнения:

$$x=\left\lbrace \begin{aligned}&\varphi+e^{\varphi}\cos(\psi)\\&y=\psi+e^{\varphi}\sin(\psi) \end{aligned}\right.$$

Где $\varphi,\psi$ - это соответственно потенциал и функция тока

Допустим, что при некоторых $y=h$ и $x \Rightarrow \psi\equiv\operatorname{const}$

Тогда из второго уравнения следует, что:

$$h=\psi+e^{\varphi}\sin(\psi)$$

Но такое возможно, только когда $\sin(\psi)=0 \Rightarrow \psi=\pi k \Rightarrow y=\pi k$, т.к. $\varphi\neq \operatorname{const}$

Теперь рассмотрим как ведет себя первое уравнение при $\psi=\pi k$

Видно, что $x=\varphi-e^{\varphi} \Rightarrow x\in(-\infty,-1)$

Так же как я понимаю, нам надо рассмотреть область однолистности экспоненты и ограничиться только линиями при которых $\psi=\pm \pi$ к примеру.

Тогда и получаем, что если считать стенками канала линии $x<-1, y=\pm \pi$. То выходит что-то похожее на течение через канал.

Но тем не менее, то что я написал, навряд ли можно назвать решением, хотя наверное какие-то верные мысли тут есть.

Что мне нужно еще сделать чтобы получить корректное доказательство ?

Заранее спасибо, за ответ !

[svv]

Просто иллюстрация.

[Saxartur]

Хорошо, я еще подумал, у меня теперь примерно такое решение:

Рассмотрим прямолинейное течение жидкости в полосе $-\pi<\operatorname{Im}(\xi)<\pi$ по оси $Ox$ с комплексным потенциалом $w=\xi$. Рассмотрим отображение $z=\xi+e^\xi$. Оно переводит эту полосу во всю комплексную плоскость с разрезами по лучам $\operatorname{Im}(z)=\pm \pi, x<-1$, что является искомой областью, кроме того имеем, что новый комплексный потенциал будет задаваться уравнением: $z=\xi+e^{\xi}=w+e^w$, что совпадает с условием.

Такое решение корректно ?

[svv]

Наверное, надо в решении коснуться и этого вопроса:

Saxartur в сообщении #1541412 писал(а):

Так же как я понимаю, нам надо рассмотреть область однолистности экспоненты и ограничиться только линиями при которых $\psi=\pm \pi$ к примеру.

Тогда и получаем, что если считать стенками канала линии $x<-1, y=\pm \pi$. То выходит что-то похожее на течение через канал.

Вы об этом писали, надо только собрать всё вместе.
Функция $z(w)=w+e^w$ на всей комплексной плоскости многолистна. Значит, если мы хотим в данной точке $z$ иметь определённый потенциал $w$, надо ограничить область определения. Границы должны совпадать с линиями тока, чтобы не было такого, что жидкость на границе появляется ниоткуда и исчезает в никуда. А линии тока (на комплексной плоскости $w$) — прямые вида $\operatorname{Im}(w)=v=\operatorname{const}$. Дальше, если не исключать прямые $v=\pi(2n+1)$ из области определения, функция всё равно будет многолистной, потому что уравнение $u-e^u=x$ имеет два решения при $x<-1$. Поэтому область должна быть ограничена двумя такими прямыми (соседними). А взять в качестве области определения часть полосы тоже нельзя — не покроем плоскость $z$.

Но вот уже из полос $v\in(-\pi+2\pi n; +\pi+2\pi n)$ можно выбрать любую.