Связь формул ОТО и классической траектории

[kzv]

Я склонен думать, что $E$ имеет один и тот же смысл в классической и в релятивистской формулах. Исходя из этого допущения, в нулевом приближении $m^2c^2=2mU$
Если следовать этой логике дальше, то в первом приближении, чтобы не возникало противоречий, должно выполняться:
$m^2c^2-\frac{r_s}{r}m^2c^2=2mU \Rightarrow U=\operatorname{const}_1+\frac{\operatorname{const}_2}{r}$ (спасибо, что указали на ошибку в знаке)

В этом месте можно остановиться, еще раз сказав не до конца понятное мне еще со школьной скамьи заклинание: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной, а значит $\operatorname{const}_1$ можно отбросить и... придем к классической формуле.

Все таки смутные сомнения терзают по поводу законности такого отбрасывания константы.

[Geen]

1. Предлагаю в "классической" формуле использовать $T$ вместо $E$ во избежание путаницы.
2. В "ОТОшной" формуле $E$ это константа.
3. Разложить одну функцию на сумму (разность) двух других функций (или, по форме орбиты получить информацию о скорости) без дополнительных ухищрений не получится.

-- 03.12.2021, 10:43 --

kzv в сообщении #1541468 писал(а):

Я склонен думать, что $E$ имеет один и тот же смысл в классической и в релятивистской формулах.

Надо просто посмотреть вывод этих формул, и убедиться, что это не так.

[kzv]

Geen в сообщении #1541470 писал(а):

1. Предлагаю в "классической" формуле использовать $T$ вместо $E$ во избежание путаницы.

Намекаете, что $T$ - это кинетическая энергия в классической формуле?
Эта энергия в выводе классической формулы в ЛЛ-т.1, формула (14.4), определяется как сумма кинетической и потенциальной, то есть как полная энергия. Она константа.

Geen в сообщении #1541470 писал(а):

2. В "ОТОшной" формуле $E$ это константа.

Как и в классической.

[sergey zhukov]

kzv
Да, $T$=const$.

Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной - это значит, что мы произвольно определяем, в какой точке тело имеет нулевую потенциальную энергию. В данном случае оно имеет нулевую потенциальную энергию на бесконечном удалении (в бесконечности). Это соглашение уже содержится в ее формуле $U=-\frac{GMm}{r}$.

Я думаю, что если $E=const$, то выражение $\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}$, которое получается на месте полной энергии в приблизительной формуле, просто и следует считать аналогом полной энергии $T$ классической формулы. Т.е. просто $T=\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}$. Таким образом $E$ (т.е. $T$) в классической формуле и $E$ в формуле ОТО - это просто разные величины. Они не переходят друг в друга при приближении.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1541483 писал(а):

kzv
$E$ (т.е. $T$) в классической формуле и $E$ в формуле ОТО - это просто разные величины. Они не переходят друг в друга при приближении.

Остается тогда вопрос - что такое $E$ при больших и при малых скоростях (с учетом того, что это интеграл движения)?
$\lim \limits_{\frac{V}{c}\to 0}(\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2})=T=\operatorname{const}$

$\lim \limits_{\frac{V}{c}\to 0}E=?=\operatorname{const}$

$E=?=\operatorname{const}$

Вообще, в ЛЛ-т.2, эта $E$ обозначается как $\varepsilon_0$ и по смыслу это полная энергия релятивистского тела. Потому что далее, для вычисления релятивистских поправок, автор вводит еще одну "нерелятивистскую энергию" $\varepsilon^{\prime}$ без энергии покоя (без $m_0c^2$ очевидно). То есть:

$\lim \limits_{\frac{V}{c}\to 0}E=m_0c^2+$\varepsilon^{\prime}=\operatorname{const}$

Отсюда я и делаю вывод, что

$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Хотя нет, если $E$ - это полная энергия, то надо писать наверное:

$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}+U$

Вот, скорее всего, какая-то из двух последних формул правильная

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1541460 писал(а):

За $E$ принять $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,

Так принимать нельзя, хотя бы потому что так никак не учитывается вклад "энергии гравитационного поля" в полной энергией.
В данной формуле ОТО $E$ имеет смысла интеграла движения (полной энергией); как кстати и сказано в Википедии.
Насколько я помню, ОТО-шная полная энергия (из-за кривизны пространства-времени и координат) не раскладывается естественным способом на "кинетической" и "потенциальной" как в классике.

sergey zhukov в сообщении #1541460 писал(а):

Но если не пренебрегать слагаемым $\frac{r_s}{r}m^2c^2$ (да, оно должно быть с плюсом, и это правильно, т.к. потенциальная энергия отрицательна), то так гладко уже не получается. Пренебрегать им, похоже, действительно нельзя, т.к. оно имеет то же порядок, что и разность $\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2$.
Похоже, что $E$ в формуле $\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}+\frac{r_s}{r} m^2c^2+\frac{r_sL^2}{r^3}} }}$ - это не $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Да, это не то.

kzv в сообщении #1541488 писал(а):

Хотя нет, если $E$ - это полная энергия, то надо писать наверное:
$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}+U$

Выражение для полной энергии $E$ (в шварцшильдовских координат) кажется было явно выписано в Ландау.

kzv в сообщении #1541338 писал(а):

Итак, судя по всему, мое допущение в первом посте топика $r_s=0$ - слишком сильное. Если радиус Шварцшильда нулевой, то никакого гравитационного поля не будет (в данном случае) и, соответственно, потенциальная энергия $U$ - может быть произвольной постоянной, в том числе может и удовлетворять $m^2c^2=2mU$ (при условии постоянной массы конечно). Это можно назвать "нулевым приближением".

Чтобы формули сходились, имхо должно быть не $r_s \to 0$ , a $\frac{r_s}{r} \to 0$.

Тоесть, чтобы орбитирующее тело было "далеко" от гравитационного радиуса тяготеющего тела, где ОТО-шных поправок можно пренебречь (и координатные скорости/импульсы совпадали по смыслу с Ньютоновых так что можно сравнивать формулы).
Типа как для Земли ОТО-шных поправок более-менее можно пренебречь, а для Меркурия уже "не совсем".

-- 03.12.2021, 19:23 --

P.S. Выражение для полной энергии $E$ (интеграла движения) в постоянном поле: ЛЛ 2 Теория Поля параграф 88 формула 88.9:
$E=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
(пояснения насчет смысла обозначения $v$ несколько выше; но в области $\frac{r_s}{r} \to 0$ оно и так будет совпадать с классическим)
Наверно, стоит раскласть его в ряд по степеням $\frac{r_s}{r}$, и смотреть что получится...

[sergey zhukov]

kzv
В самом деле. Не могли что-ли сразу внятно написать вот так:

$$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{2m(E-U)-\frac{L^2}{r^2}+\frac{2GML^2}{c^2r^3} }}}$$

Где $U=-\frac{GMm}{r}$ - потенциальная энергия, а $E$ - полная энергия.

Чтобы, так сказать, проще было проследить истоки. Сразу ясно, что тут изменилось.

Я думаю, так не делают потому, что в ОТО появляются понятия, которым нет аналога. Например, радиус Шварцшильдта (который при такой записи исчез, но в ОТО именно он имеет важный смысл). А старые понятия могут получить новый смысл (например, понятие энергии, ее определение и деление на кинетическую и потенциальную).

Так что, возможно, что $E$ из формулы ОТО имеет внутри нее вполне ясный смысл (т.е. именно эта часть сохраняется, инвариантна и т.д.), но в классической механике это какая-то странная составная часть полной энергии.

[kzv]

manul91 в сообщении #1541510 писал(а):

Выражение для полной энергии $E$ (в шварцшильдовских координат) кажется было явно выписано в Ландау.

Спасибо за наводку! В Шварцшильдовских не нашел, но есть в общем виде в ЛЛ-т.2, формула (88.9)
$\varepsilon_0=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$ (пока я искал, вы написали уже)

Подставить сюда Шварцшильда - проблем нет, но меня интересует предельный переход, поэтому лучше сразу классическое приближение из ЛЛ-т.2 (87.12):

$g_{00}=1+\frac{2\psi}{c^2}$ (я поменял обозначение в Ландау $\varphi\to \psi$)

$\varepsilon_0=\frac{mc^2\sqrt{1+\frac{2\psi}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1541515 писал(а):

В самом деле. Не могли что-ли сразу внятно написать вот так:

$$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{2m(E-U)-\frac{L^2}{r^2}+\frac{2GML^2}{c^2r^3} }}}$$

Где $U=-\frac{GMm}{r}$ - потенциальная энергия, а $E$ - полная энергия.
Чтобы, так сказать, проще было проследить истоки. Сразу ясно, что тут изменилось.

sergey zhukov, в википедии $E$ имеет смысла полной энергии (интеграла движения), а не "кинетической" (разности между полной и потенциальной).
В этой ОТО-шной формуле, $E$ как начало можно/нужно заменить на $E=\frac{mc^2\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ - при этом решение остается совершенно точным.

[sergey zhukov]

manul91
Так я вроде и говорю, что $E$ - полная энергия. Она и классической формуле полная.

Раз $\varepsilon_0=const$, то должно получиться $\varepsilon_0=kmc^2$, где $k=const$

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1541522 писал(а):

Так я вроде и говорю, что $E$ - полная энергия. Она и классической формуле полная.

Тогда я не понял, что вы имели ввиду в вашем прежнем сообщении.

sergey zhukov в сообщении #1541515 писал(а):

Так что, возможно, что $E$ из формулы ОТО имеет внутри нее вполне ясный смысл (т.е. именно эта часть сохраняется, инвариантна и т.д.), но в классической механике это какая-то странная составная часть полной энергии.

$E_{OTO}$ из формулы ОТО имеет вполне ясный смысл в ОТО - это константа - интеграл движения свободно падающего тела, она остается постоянной по мере его падения.
$E_{classic}$ из классической формулы имеет вполне ясный смысл в классике, и он тот же самый - это константа - интеграл движения свободно падающего тела, она остается постоянной по мере его падения.
На отличие от классической $E_{classic}$, ОТО-шная константа $E_{OTO}$ также "учитывает" собственную энергию падающего тела $mc^2$, и не раскладывается на сумму "кинетической" и "потенциальной".

Они относятся к разным теориям, и поэтому говорить что одна из них является "составной частью" другой нет смысла. (в таком аспекте вполне уместно предложение Geen обозначать их по-разному для избежания путаницы).

При этом имхо логично все-таки ожидать, что для Шварцшильда при $\frac{v}{c} \to 0$ и $(\frac{r_g}{r})^n \to 0$ (пренебрегая члены $\frac{v}{c}$ и $\frac{r_g}{r}$ в разложении начиная с некоторой степени), должно быть $E_{OTO} - mc^2 \to E_{classic}$

[kzv]

Итак, по новой...
В первом приближении, отбрасывая пока только слагаемое $\sim\frac{r_s}{r^3}$, имеем формулу для орбиты:

$\varphi=\int {\frac {Ldr} {r^2 \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2+\frac{r_s}{r} m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}} }}$

Где, если я все правильно понял, для Ньютоновского приближения:

$E=\frac{m_0c^2\sqrt{1+\frac{2\psi}{c^2}}}{\sqrt{1+\frac{V^2}{c^2}}}=mc^2\sqrt{1+\frac{2\psi}{c^2}}$

Распишем тогда знаменатель формулы для орбиты, под корнем:

$\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2+\frac{r_s}{r} m^2c^2-\frac{L^2}{r^2}=2m(\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}+\frac{r_s m c^2}{2r} )-\frac{L^2}{r^2}$

В круглые скобки подставляем $E^2=m^2c^4(1+\frac{2\psi}{c^2})$

$2m(\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}+\frac{r_s m c^2}{2r} )-\frac{L^2}{r^2}=2m(\frac{mc^2(1+\frac{2\psi}{c^2})}{2}-\frac{mc^2}{2}+\frac{r_s m c^2}{2r})$

Опять в скобках ерунда получается ((
Никак не будет это равно классическим $2m(E-\frac{\operatorname{const}}{r})$

Получается:
$2m(\frac{mc^2(1+\frac{2\psi}{c^2})}{2}-\frac{mc^2}{2}+\frac{r_s m c^2}{2r})=2m(m\psi-\frac{\operatorname{const}}{r})$

где $\psi$ - это то, что у Ландау обозначается как $\varphi$, то есть гравитационный потенциал, который при умножении на массу тела конечно не дает полную энергию.

[manul91]

kzv в сообщении #1541526 писал(а):

Опять в скобках ерунда получается ((

kzv
Я бы подошел к проблему так:
1) Для ясности, в классической формуле выражаем все энергии под корнем через v, r, m, M, G и т.д.
2) В ОТОшной формуле, выкидываем L сверх как вы сделали в самом начале, чтобы все остальное кроме подкоренного выражения было то же самое. Потом подставляем вместо E выражения из ЛЛ 2 88.9, далее все под корнем также выражаем через v, r, m, M, G и т.д.
3) В ОТОшной формуле, подкоренное выражение раскладываем по малости параметров $\frac{v}{c}$, И $\frac{r_g}{r}=\frac{2GM}{rc^2}$, удерживая члены вплоть до второй степени малости. Т.е. "дважды" раскладываем в ряд тейлора сперва по одного, потом по другого параметра малости также. Чтобы не мучаться, можно воспользоваться онлайн калькулятором типа этого или wolrfram alpha.

Например, вот для СТО-шного выражения для полной энергии $\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ видим что получается $mc^2 + mv^2/2 + ....$ т.е. оно равно классической кин. энергии плюс энергии покоя, пренебрегая членами порядка $(\frac{v}{c})^3$ и выше

4) Сравниваем выражения под корнем, отбрасывая члены нужной степени малости по параметрам $\frac{v}{c}$ И $\frac{2GM}{rc^2}$
Не нужно спешить, считать медленно но верно : )

[kzv]

manul91 в сообщении #1541528 писал(а):

3) В ОТОшной формуле, подкоренное выражение раскладываем по малости параметров

Не вижу смысла раскладывать подкоренные выражения в ОТОшной $E$. Она ведь входит в формулу как квадрат. А у квадрата и раскладывать-то нечего получается

$E^2=\frac{m_0^2c^4(1-\frac{r_s}{r})}{1-\frac{V^2}{c^2}}=m^2c^4(1-\frac{r_s}{r})$

Только если этот квадрат теперь подставить в исходную формулу, то там все в ноль превратится кроме слагаемого $-\frac{L^2}{r^2}$ ((

[manul91]

kzv в сообщении #1541540 писал(а):

Только если этот квадрат теперь подставить в исходную формулу, то там все в ноль превратится кроме слагаемого $-\frac{L^2}{r^2}$ ((

А с какой стати знаменатель $1-\frac{v^2}{c^2}$ прям убираете а не раскладываете выражение по степеней $\frac{v}{c}$?
$\frac{E^2}{c^2} =(1-\frac{r_s}{r})\frac{m^2c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}} = (1-\frac{r_s}{r})(m^2c^2 + m^2v^2 + ...)$
Потом я не уверен что вы правильно интерпретируете еще классическую формулу.
Если посмотреть здесь стр. 6 вначале; и разобраться с обозначениями, подкоренное выражение в классическом случае (то, которое вы обозначаете как $2m(E-U) - \frac{L^2}{r^2}$) вроде должно быть равным просто $m^2v^2 - \frac{L^2}{r^2}$ (так как потенциальная энергия отрицательна).
Так что не понятно почему вы требуете

kzv в сообщении #1541526 писал(а):

классическим $2m(E-\frac{\operatorname{const}}{r})$

, ведь скорость не константа по мере движения.