Дельта-функция в уравнении теплопроводности

[artempalkin]

У нас есть уравнение теплопроводности с граничными и начальными условиями:

$$U_t=U_{xx}+Q\cdot\delta(x-x_0)$$

$$U(0,t)=U(1,t)=0$$

$$U(x,0)=0$$

$$t\geqslant 0 \ \ \ x\in[0,1],$$

где $\delta(x)$ - дельта-функция, $x_0\in(0,1)$.

Я вот никак не могу понять, какие условия накладывает дельта-функция на температуру? Из квантов, где что-то такое мне когда-то встречалось (бесконечный потенциальный барьер, представляемый дельта-функцией), я смутно помню, что дельта-функция наложит условие на производную (то есть в точке $x_0$ производная температуры будет иметь скачок), но при этом сама температура останется непрерывной функцией. Вы не подскажете, что там конкретно за условие и откуда оно берется?

-- 02.12.2021, 21:59 --

Сейчас мне пришло в голову, что можно обе части проинтегрировать в близкой окрестности $x_0$:

$$\int\limits_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}U_tdx=\int\limits_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}U_{xx}dx+Q\int\limits_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}\delta(x-x_0)dx$$

$U(x,t)$ - непрерывная функция по $x$ (видимо, из физических соображений температура не может меняться в пространстве скачкообразно, хотя почему нет с другой стороны?), тогда и $U_t$ должна быть непрерывна. Тогда получается:

$$U_x(x_0-)-U_x(x_0+)=Q,$$

правильно я мыслю?

[lel0lel]

Интегрирование в бесконечно малой окрестности точки $x=x_0$,с учётом непрерывности $U$, даёт условие на производную $0=U_x(x_0+0,t)-U_x(x_0-0,t)+Q$
Вообще для уравнения теплопроводности есть общий метод решения -- переход к Фурье-образу, затем обратно.

[Vince Diesel]

Еще можно так. Правая часть в данном случае $f(x,t)=Q\delta(x-x_0)$ и решение

$$ u(x,t)=\int_0^t\int_0^1 G(x,y,t-\tau)f(y)\,dyd\tau=Q\int_0^t G(x,x_0,t-\tau)\,d\tau, $$

где $G$ -- функция Грина первой краевой задачи. Она выписывается явно в виде ряда. Получившийся интеграл это потенциал простого слоя, он непрерывен. А скачок первой производной при переходе через $x_0$ будет равен $Q$ -- это свойство потенциала простого слоя.