Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

Т.е., возможность покрытия интервала, длиной d,

вычетами q всех произвольных перестановок среди всех простых данного праймориала,

имеется только в случае, если эта длина d максимальна для данного праймориала (якобсталевская)?


А для интервалов меньшей длины не все перестановки могут перекрывать эти интервалы?

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1541123 писал(а):

А для интервалов меньшей длины не все перестановки могут перекрывать эти интервалы?

Да, есть много интервалов в ПСВ$p_n$# меньшей длины, которые покрываются не всеми перестановками нечетных простых делителей от 3 до $p_n$. Простой пример, в ПСВ$5$# в интервале $19-23$, отсутствует нечетный простой делитель $5$, а на интервале максимальной длины $23-29$ он присутствует.

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1541129 писал(а):

вычетами q всех произвольных перестановок среди всех простых данного праймориала,

А Вы понимаете что перестановок вообще говоря значительно больше чем интервалов? Например для 23# перестановок нечётных простых будет 8!=40320, однако максимальных интервалов всего 12. Так что подчёркнутое слово "всех" некорректно.

vicvolf в сообщении #1541126 писал(а):

А Вы можете его доказать, не используя утверждение

Вообще-то я уже дважды выше практически набросал план такого доказательства. Расписывать подробно оставлю желающим в качестве упражнение.

[vorvalm]

В ПСВ($23\#$) в интервалах $d=38 $ и $d=40$ есть делитель $23$

[vicvolf]

Dmitriy40 писал(а):

Вообще-то я уже дважды выше практически набросал план такого доказательства. Расписывать подробно оставлю желающим в качестве упражнение.

Это вы про эту попытку доказательства.

Dmitriy40 в сообщении #1540987 писал(а):

А по моему банальность: если перевести на нормальный язык, то окажется что утверждается всего лишь, что для максимального интервала обязательно встречаются все простые до простого под примориалом включительно, может быть по нескольку раз. Ну так он же так и строится, чтобы все числа внутри делились на одно из этих простых, т.е. границы на них не делятся. А что именно обязательно все — так ведь если какое-то простое не встретится, то добавив его можно увеличить размер интервала минимум на 2, а значит он не был максимальным. Т.е. это обязательно выполняется всегда просто что называется "по построению" максимального интервала, это его родное свойство.

Так это о простых перестановках максимального интервала. А я прошу другое - доказательство про строгое возрастание функции Якобсталя, которое с Ваших слов является тривиальным. При этом прошу не использовать утверждение о перестановках нечетных простых делителей на максимальном интервале. Иначе получается замкнутый круг.

-- 30.11.2021, 18:46 --

vorvalm в сообщении #1541136 писал(а):

В ПСВ($23\#$) в интервалах $d=38 $ и $d=40$ есть делитель $23$

А в $d=38$ все остальные нечетные простые делители от 3 до 23 есть?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1541137 писал(а):

А я прошу другое - доказательство про строгое возрастание функции Якобсталя, которое с Ваших слов является тривиальным.

При переходе к следующему простому числу мы всегда можем поставить его в первое свободное место в списке минимальных делителей (это такое, где минимальный простой делитель больше предыдущего простого числа). Такое свободное место гарантированно на границе предыдущего максимального интервала. Поставив туда новое простое число мы отодвигаем границу минимум на 2 (потому что следующее число гарантированно чётное). Т.е. при переходе к следующему простому числу максимальный интервал растёт минимум на 2. ЧТД. Никакие перестановки не привлекаются.
Новый интервал будет не обязательно максимальным, но это лишь значит что новый максимальный интервал будет ещё больше, т.е. функция всё равно монотонно (т.е. строго) расчёт, просто быстрее минимально доказанного.
И по моему это всё как раз и есть тривиально.

Пример.
Для 13# первый максимальный интервал начинается на $9439$ и кончается на $9461$:

? forstep(p=9439,9439+22,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
9439, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 9461,

Добавляя простое 17 мы можем поставить его на место $9461$ и получить интервал:

-, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 17, -,

Что там будет на месте прочерков непринципиально, главное что там будут числа больше 17, например такие:

? forstep(p=39469,39469+24,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
29, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 17, 73,

или такие если 17 добавить слева:

? forstep(p=249677,249677+24,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
249677, 17, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 43,

Прекрасно видно что при добавлении нового простого 17 интервал обязательно увеличится минимум на 2, потому что мы всегда можем поставить 17 именно на старую границу интервала отодвинув таким образом её на 2. А функция Якобсталя не может быть меньше этого нового интервала, хотя может быть больше.
Никакие перестановки для получения нового интервала из предыдущего не привлекаются.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1541137 писал(а):

А в $d=38$ все остальные нечетные простые делители от 3 до 23 есть?

Безусловно.
И таких интервалов достаточно много, например,82,90(43) или 86,100(47) и т.д.

[Dmitriy40]

Пример со всеми простыми делителями для 23# для интервала d=36 вместо максимального d=40:

? n=8302457; forstep(p=n,n+36,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
8302457, 11, 3, 13, 5, 3, 7, 23, 3, 5, 17, 3, 11, 7, 3, 19, 13, 3, 8302493,

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1541148 писал(а):

vicvolf в сообщении #1541137 писал(а):

А в $d=38$ все остальные нечетные простые делители от 3 до 23 есть?

Безусловно. И таких интервалов достаточно много, например,82,90(43) или 86,100(47) и т.д.

Dmitriy40 в сообщении #1541151 писал(а):

Пример со всеми простыми делителями для 23# для интервала d=36 вместо максимального d=40:

? n=8302457; forstep(p=n,n+36,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
8302457, 11, 3, 13, 5, 3, 7, 23, 3, 5, 17, 3, 11, 7, 3, 19, 13, 3, 8302493,

В статье ссылка, на которую приводилась выше, после доказательства утверждения 1.5 есть замечание, как раз об этом.

Замечание 1.3. В набор последовательностей со свойством (2) входит любая последовательность, удовлетворяющая
(3), даже если m <w (n).

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1541135 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1541129
писал(а):

Цитата:

вычетами q всех произвольных перестановок среди всех простых данного праймориала,

А Вы понимаете что перестановок вообще говоря значительно больше чем интервалов? Например для 23# перестановок нечётных простых будет 8!=40320, однако максимальных интервалов всего 12. Так что подчёркнутое слово "всех" некорректно.

Понимаю.
Именно поэтому я выше спрашивал - о каких перестановках идет речь?

Не могу собрать в голове этот паззл.

Цитата:

В предложении 1.5
(3) Существует перестановка ( $\pi_2, ..., \pi_n$ ) элементов { $p_2 , ..., p_n$ } и набор ( $q_2 , ..., q_n$ )такие,
что последовательность { 1, ..., m } полностью покрывается классами вычетов $q_i$ mod $\pi_i$ когда все $\pi_i$ были рекурсивно присвоены первой свободной позиции $q_i$, соответственно.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541142 писал(а):

При переходе к следующему простому числу мы всегда можем поставить его в первое свободное место в списке минимальных делителей (это такое, где минимальный простой делитель больше предыдущего простого числа). Такое свободное место гарантированно на границе предыдущего максимального интервала.

Где доказательство этого факта?

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541142 писал(а):

Такое свободное место гарантированно на границе предыдущего максимального интервала. Поставив туда новое простое число...

Таким образом, вычеты на границе максимального интервала ПСВ$p_n$# должны иметь делитель $p_{n+1}$. Это не так.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1541203 писал(а):

Где доказательство этого факта?

Какого? Что граница интервала $p_n\#$ не делится на простые по $p_n$ включительно? Это определение границы интервала.

vicvolf в сообщении #1541210 писал(а):

Таким образом, вычеты на границе максимального интервала ПСВ$p_n$# должны иметь делитель $p_{n+1}$.

Нет не должны. А могут. Смотри примеры выше.
Ну и никто не обещал новых максимальных интервалов, читайте внимательнее. Я доказал что растут даже не максимальные интервалы, значит максимальные тоже растут. Надеюсь хоть это очевидно и не требует развёрнутого доказательства.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541142 писал(а):

Пример.
Для 13# первый максимальный интервал начинается на $9439$ и кончается на $9461$:

? forstep(p=9439,9439+22,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
9439, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 9461,

Добавляя простое 17 мы можем поставить его на место $9461$ и получить интервал:

-, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 17, -,

Что там будет на месте прочерков непринципиально, главное что там будут числа больше 17, например такие:

? forstep(p=39469,39469+24,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
29, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 17, 73,

или такие если 17 добавить слева:

? forstep(p=249677,249677+24,2, print1(factor(p)[1,1],", "))
249677, 17, 3, 7, 5, 3, 11, 13, 3, 5, 7, 3, 43,

Вы рассмотрели только один случай для $p=13$, а почему это выполняется для произвольного $p_n$?

Dmitriy40 в сообщении #1541142 писал(а):

При переходе к следующему простому числу мы всегда можем поставить его в первое свободное место в списке минимальных делителей (это такое, где минимальный простой делитель больше предыдущего простого числа). Такое свободное место гарантированно на границе предыдущего максимального интервала.

Почему это можно сделать для любого $p_n$?

[Dmitriy40]

Вот почему Вам не надоедает спрашивать такие банальности ...

vicvolf в сообщении #1541296 писал(а):

Вы рассмотрели только один случай для $p=13$, а почему это выполняется для произвольного $p_n$?

Потому что пример — это пример/иллюстрация частного случая, а само доказательство было выше.

vicvolf в сообщении #1541296 писал(а):

Почему это можно сделать для любого $p_n$?

Потому что по определению интервала на его границах стоят числа с минимальным простым делителем больше $p_n$ (если это не так, то это не граница интервала, а его внутренность). Имея одно новое свободное простое число мы всегда можем поставить его на границу старого интервала включив таким образом её во внутренность нового интервала и расширив интервал минимум на 2. Что в этом может быть непонятно-то?!