Осциллограф и колебания

[Sakura]

Есть вот такая задача:

На вертикально отклоняющие пластины осциллографа подаются два одинаково направленных колебания U_y_1 = 10sin(\omega t - \pi /6) и U_y_2 = 5cos \omega t, на горизонтально отклоняющие пластины U_x = 8,66 cos \omega t. Определить траекторию луча на экране осциллографа.

Помогите, пожалуйста, разобраться с ней.

Мои мысли такие:
Поскольку ближе к электронной пушке осциллографа находятся вертикально отклоняющие пластины, рассмотрим как на луч влияют подаваемые на эти пластины колебания. Колебания однонаправленные, следовательно эти колебания складываются. Но, по определению, гармоническое колебание - это колебание, которое описывается периодическим законом: x (t) = A cos (\omega_0 t + \phi_0), где A - амплитуда колебаний, \omega_0 t + \phi_0 - фаза колебаний.

Однако, посмотрим на данные нам функции и приведем их к общепринятому виду, выразив sin через cos:
sin (\pi / 2 - \alpha) = cos \alpha;
Пусть \omega t - \pi / 6 = \pi / 2 - \alpha, тогда
\alpha = \pi / 2 + \pi / 6 - \omega t = 4\pi / 6 - \omega t = 2 \pi / 3 - \omega t;
10sin( \omega t - \pi /6) = 10cos (2 \pi / 3 - \omega t).

Верно ли я начала мыслить?
Верно ли то, что сначала надо сложить эти два колебания?
Действительно ли надо выразить sin через cos, для приведения функции к общему виду колебаний?
Верно ли выражен sin через cos?

Далее сложим соответствующие векторы \overline A_y_1 и \overline A_y_2 для момента времени t. Проекция результирующего вектора \overline A_y_1 = \vec A_y_1 + \vec A_y_2 на ось Оx равна сумме проекций складываемых векторов U_y(t) = U_y_1(t) + U_y_2(t).

[Munin]

Правильно, хотя удобней записать $10\cos(\omega t-2\pi/3).$

[Sakura]

Продолжим:
Складываем векторы, ищем значение A и \phi_0, чтобы составить уравнение, описывающее суммарное колебание на вертикально отклоняющих пластинах:
A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2cos(\pi - (\phi_0_1 - \phi_0_2)) = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2cos(\phi_0_2 - \phi_0_1) = 10_2 + 5^2 + 2*10*5*cos(0-(-2\pi/3)) = 100 + 25 + 100cos (2*\pi/3) = 125 + 100 * (cos_2 \pi/3 - sin_2 \pi/3) = 125 + 100 ((1/2)^2 - (\sqrt{3}/2)^2 = 75

tg \phi_0 = \frac{A_1sin\phi_0_1 + A_2sin\phi_0_2}{A_1cos\phi_0_1 + A_2cos\phi_0_2}
tg\phi_0 = \frac{10sin0 + 5sin(-2\pi/3)}{10cos0 + 5cos(-2\pi/3)} = $\frac{0-5*2sin(\pi/3)cos(\pi/3)}{10 + 5*(cos_2 \pi/3 - sin_2 \pi/3)}$ = $\frac{-10*\sqrt{3}/2*1/2}{10 + 5((1/2)^2 - (\sqrt{3}/2)^2)}$ = -\sqrt{3}/3 = -\pi/6

-tg(x) = tg(-x)

U_y = 5\sqrt{3}cos(\omega t + (-\pi/6)) = 5\sqrt{3}cos(\omega t - \pi/6)

Верно ли составлено уравнение суммарного колебания?

Далее у нас расположены горизонтально отклоняющие пластины, на которые подается колебание. Получается, что у нас взаимно перпендикулярные колебания: одно колебание - это то, которое мы нашли, а второе - это то, которое подаеся на горизонтально отклоняющие пластины и нам задано.
Нам требуется сложить взаимно перпендикулярные колебания.

И вот тут у меня вопрос по теории:
уравнение одного колебания x(t) = Acos \omega_0 t, второго y(t) = Bcos(\omega_0 t + \phi_0),
Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений время. Из первого уравнения следует, что cos\omega_0 t = x/A, тогда $sin \omega_0 t = \pm \sqrt{1-x^2/A^2}$.
Представим далее косинус во втором уравнении y(t) = Bcos(\omega_0 t + \phi_0) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cos\omega_0 t и sin\omega_0 t их значения из соотношений cos\omega_0 t = x/A и $sin \omega_0 t = \pm \sqrt{1-x^2/A^2}$. В результате получим x^2/A^2 + y^2/B^2 - (2xy/AB)*cos\phi_0 = sin^2\phi_0. Получили уравнение эллипса.

Объясните, пожалуйста, подробно КАК получилось уравнение эллипса?

[powerZ]

Вы перепутали индексы амплитуд и фаз при подстановке в формулу для нахождения фазы. На самом деле получится не эллипс, а круг.

[Sakura]

powerZ, действительно неправильно написала. Сейчас исправила. Но меня интересует другое: какими преобразованиями получилось уравнение x^2/A^2 + y^2/B^2 - (2xy/AB) * cos \phi_0 = sin^2 \phi_0
Сколько я ни крутила синусы в косинусы, подставляла, выражала, но я до такого уравнения их первых никак не дошла. Как вывести это уравнение из данных?

[powerZ]

Sakura писал(а):

И вот тут у меня вопрос по теории:
уравнение одного колебания x(t) = Acos \omega_0 t, второго y(t) = Bcos(\omega_0 t + \phi_0),
Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений время.

У меня получилось так:

$ (\frac { \frac y B - \frac x A cos \phi } {sin \phi} )^2 + (\frac x A)^2 = 1$

Чем не эллипс? Как промежуточный результат на пути к вашему ответу сгодится?

[chiba]

Мне кажется можно сделать все еще проще
$U_y=U_{y1}+U_{y2}=5 \sqrt{3} Sin \omega t
Поскольку $x -колебание $U_x=8.66 Cos \omega t имеет такую же частоту, что и $y - колебание, то на экране будет фигура Лиссажу в виде эллипса. Остается определить только уравнение этого эллипса. Поскольку
$\frac {U_x}{5 \sqrt{3}} = Sin \omega t,
$\frac {U_y}{8.66} = Cos \omega t,
то по основному тригонометрическому уравнению
$\frac {{U_x}^2}{75}+\frac {{U_y}^2}{8.66^2}=1.
Поскольку $8.66^2=74.9956, то с точностью до первого знака после запятой включительно (для осциллографа такая точность напряжений вполне оправдана) получим уравнение окружности радиусом $5\sqrt{3} -
${U_x}^2+{U_y}^2}={(5\sqrt{3})}^2
И не надо таскать всю дорогу никаких фаз

[Sakura]

chiba, почему у Вас при сложении однонаправленных колебаний получилось 5\sqrt3sin\omega{t}? У меня это значение получилось 5\sqrt{3}cos(\omega{t}-\pi/6), где я ошиблась? Я не очень поняла Ваш метод, может Вы объясните подробно как дальше из полученных и имеющихся уравнений колебаний найти, что это эллипс по той теории, которую я привела (пусть будет длинно, но с подробными объяснениями и понятно мне, а преподаватель согласен на это)? У меня ну никак не получается так. Все что угодно, но левая часть другая, правая тоже. Может я в тригонометрических формулах путаюсь и поэтому не так? Объясните, пожалуйста.

[chiba]

Sakura в сообщении #154269 писал(а):

Вас при сложении однонаправленных колебаний получилось ...

Все просто. Разложим $Sin(\omega t-\pi/6). Получим
$Cos(\pi/6) Sin(\omega t)-Sin(\pi/6) Cos(\omega t).
Теперь вспоминаем, что
$Sin(\pi/6)=1/2, $Cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2,
Тогда разложение будет иметь вид
$U_{y1}=5\sqrt{3} Cos(\omega t)-5 Cos(\omega t).
Видим, что второе слагаемое сокращается с $U_{y2}
и остается $U_{y}=5\sqrt{3} Cos(\omega t)
чтд.
Теперь далее (можно обойтись и без знания фигур Лиссажу)..
Разделим каждое колебание ($U_x, U_y) на его амплитуду. Это приводит синус и косинус к одинаковой единичной амплитуде Затем возводим каждый результат в квадрат и складываем. Я это и сделал в предыдущем посте и получил уравнение эллипса.
$\frac {(U_x)^2}{(5\sqrt{3})^2}+\frac {(U_y)^2}{(8.66)^2}=Cos^2(\omega t)+Sin^2(\omega t)=1
Далее я просто анализирую численные значения амплитуд и нахожу их очень близкими. Поэтому и заключаю, что наш эллипс это практически круг.

P.S. Сейчас попробую сделать тоже самое методом сложения амплитуд. Мне кажется, что там у вас где-то закралась ошибка

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 42 секунды:

Хорошо. Приводим все к косинусам
$U_{y1}=10 Cos(\omega t-2\pi/3)
$U_{y2}=5 Cos(\omega t)
Здесь небольшая тонкость, которая испортила все дальнейшие ваши результаты. Начальная фаза колебания задается углом, отсчитанным против часовой стрелки от исходной оси, а в первом колебании начальная фаза отсчитана от исходной оси по часовой стрелке на величину $2\pi/3, что и обеспечивает минус перед фазой (при таких расчетах всегда! надо начальную фазу отсчитывать против часовой – т.е. перед ней должен стоять знак «плюс»). Здесь это легко сделать используя свойство периодичности
$Cos(\omega t-2\pi/3)= Cos(\omega t+(2\pi-2\pi/3))
Тогда
$U_{y1}=10 Cos(\omega t+(2\pi-2\pi/3))
Таким образом
$A_1=10, A_2=5
$\phi_1=2\pi-2\pi/3, \phi_2=0
Тогда результирующая амплитуда будет равна
$A^2={A_1}^2+{A_2}^2-2 A_1 A_2 Cos(2\pi-(\phi_1-\phi_2))
Здесь у вас еще одна ошибка. Почему-то вы вычитаете разность фаз в косинусе из $\pi. Если не знаете откуда берется эта формула, то советую просто нарисовать графически вектора и результат их сложения. Потом по теореме косинусов найдите длину результирующего вектора. Там надо быть внимательным и тщательно следить какой угол выбрать для теоремы косинусов.
Удивительно, но наложившись друг на друга две ошибки дали правильный результат. Тот же результат получится и при правильном подходе. Советую посчитать самостоятельно.
Теперь разберемся с фазой колебаний.
Исходная формула правильная, ну а подстановка конечно же неверная из-за неправильного отсчета фазы и кроме того сделана расчетная ошибка – почему то поменяны местами амплитуды. Если посчитать все правильно, то окажется, что знаменатель буде равен нулю, а это значит, что тангенс будет равен бесконечности, что в свою очередь означает фазу колебаний равную $\pi/2

Думаю, что дальше вы справитесь сами. Ответ вам известен, а логика дальнейшего изложения вроде не нарушена.
Возникнут проблемы – спрашивайте.

Добавлено спустя 20 минут 59 секунд:

Sakura в сообщении #154050 писал(а):

Объясните, пожалуйста, подробно КАК получилось уравнение эллипса?

Да, не заметил вопроса. У вас как раз написан ответ: «Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений время.»
У вас движение записано в параметрическом виде (два уравнения и параметр время). А нам, грубо говоря, нужен график, т.е. кривая по которой будет происходить движение. Для этого надо просто из параметрических уравнений исключить время и получить эту кривую. Она как раз и будет описываться уравнением эллипса

[Sakura]

chiba, спасибо, Вы все очень хорошо и доходчиво объясили. Надеюсь, что Ваши объяснения кому-нибудь тоже помогут, как и мне.