Общее доказательство иррациональности корня n-ой степени

[Vladimir Pliassov]

1.

Мне кажется, что я нашел общее доказательство иррациональности корня $n$-ой степени (при натуральном $n$) из натурального числа, когда этот корень не является натуральным числом (то есть когда подкоренное число не является натуральной степенью натурального числа).

Буду благодарен за подтверждение или за опровержение. Не удивлюсь, если не открыл ничего нового.

(Ср. с частным доказательством иррациональности квадратного корня из $2$ у Г. М. Фихтенгольца, 1т. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», первый и второй абзацы Введения, § 1 https://studfile.net/preview/4422204/page:2/)

Предложение. Нет такой рациональной дроби $\frac {p}{q}$ (где $p$ и $q$ -- взаимно простые натуральные числа, причем $q\ne 1$), натуральная степень которой была бы равна натуральному числу.

(Перефразировка предложения Фихтенгольца о несуществовании рационального $\sqrt 2$.)

Другими словами,

Пусть $p, q, n, r$ -- натуральные числа, причем $p$ и $q$ взаимно просты и $q\ne 1$, тогда равенство

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^n=r$$

невозможно.

Доказательство. Пусть $p, q, n$ -- натуральные числа, и при этом дробь $\frac {p}{q}$ несократима и $q\ne 1$, а также пусть

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^n=r. \eqno (1)$$

Выражение (1) можно представить в виде

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r. $$

Левая часть этого равенства также может быть представлена как несократимая дробь, поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей. При этом она не может быть равна натуральному числу, так как $q\ne 1$. Таким образом $r$ не может быть натуральным числом, и равенство (1) при указанных в Предложении условиях невозможно, ч. и т. д..

2.

По приведенному Предложению равенство

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^n=r \eqno (1)$$

невозможно, когда $p$ и $q$ взаимно просты и $q\ne 1$, то есть когда $\frac {p}{q}$ не равно натуральному числу, если же $\frac {p}{q}$ равно натуральному числу, то равенство (1) возможно.

В таком случае оно может быть представлено в виде

$$b^n=r,$$

где $b$ -- натуральное число, например, $3^2=9.$

Корень $n$-ой степени из натурального числа может быть либо натуральным (доказано на примере $3^2=9$), либо иррациональным, но рациональным, не будучи натуральным, быть не может.

3.

Поскольку корень натуральной степени из натурального числа может быть натуральным, при доказательстве иррациональности корня по Предложению, следует особо рассмотреть случаи равенства $\frac {p}{q}$ натуральным числам. Например, при доказательстве иррациональности $\sqrt 2$ следует особо рассмотреть равенство

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^2=2 \eqno (2)$$

при равенстве $\frac {p}{q}$ натуральному числу. Убедившись в том, что ни при $\frac {p}{q}=1$, ни при $\frac {p}{q}>1$ равенство (2) не является справедливым, переходим к случаю, когда $\frac {p}{q}$ не равно натуральному числу. В этом случае -- при том, что $p$ и $q$ натуральные числа и взаимно просты, -- $q\ne 1$, и по Предложению равенство (2) невозможно, поскольку $2$ (как степень и как показатель степени) также есть натуральное число.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1540996 писал(а):

Левая часть этого равенства также может быть представлена как несократимая дробь, поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей.

Мне кажется это требует пояснений, если вы например даёте такое доказательство вместо доказательства иррациональности корня из двух ( в смысле, в то же время). Это же первый курс (и даже первый семестр), в общем-то...

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541002 писал(а):

Мне кажется это требует пояснений

Пытаюсь увидеть что-то неясное в том, что левая часть равенства

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r$$

может быть представлена как несократимая дробь (поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей) -- и не могу. Может быть, Вы имеете в виду что-то другое?

[zykov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541006 писал(а):

Пытаюсь увидеть что-то неясное в том, что левая часть равенства

Используйте Основную теорему арифметики.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541006 писал(а):

может быть представлена как несократимая дробь (поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей) -- и не могу. Может быть, Вы имеете в виду что-то другое?

Как именно из несократимости $p/q$ следует несократимость, например, $p^2/q$?

-- 29.11.2021, 19:14 --

zykov в сообщении #1541010 писал(а):

Используйте Основную теорему арифметики

Моё замечание ТСу как раз об этом. Сперва надо эту теорему доказать... Или по крайней мере сослаться.

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1541011 писал(а):

Как именно из несократимости $p/q$ следует несократимость, например, $p^2/q$?

Ну я понимаю, что здесь имеет в виду ТС. Несократимость $p/q$ означает, что в разложении чисел $p$ и $q$ на простые множители нет одинаковых множителей. Но тогда их нет и у чисел $p$ и $q^2$. Как ещё можно понимать слова

Vladimir Pliassov в сообщении #1540996 писал(а):

поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей.

[mihaild]

Вы по сути воспользовались утверждением: если $\frac ac$, $\frac ad$, $\frac bc$, $\frac bd$ несократимы, то $\frac{ab}{cd}$ тоже несократима (точнее чуть более сильным, но неважно). Его нужно доказывать, и скорее всего в доказательстве понадобится сослаться на основную теорему арифметики.
Если бы мы вместо целых и рациональных чисел брали не-факториальную область целостности (например $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$) и поле дробей над ней, то это утверждение было бы просто неверно: $\frac{1 + \sqrt{-5}}{2}$ и $\frac{1 - \sqrt{-5}}{3}$ несократимы, но их произведение равно $1$.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1541013 писал(а):

Ну я понимаю, что здесь имеет в виду ТС. Несократимость $p/q$ означает, что в разложении чисел $p$ и $q$ на простые множители нет одинаковых множителей. Но тогда их нет и у чисел $p$ и $q^2$. Как ещё можно понимать слова

Да, но моё замечание было о том, известна ли уже к моменту доказывания ТСом основная теорема арифметики. И по крайней мере, тогда нужно её упомянуть...
При доказывании иррациональности корня из двух она не нужна.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1541013 писал(а):

Несократимость $p/q$ означает, что в разложении чисел $p$ и $q$ на простые множители нет одинаковых множителей. Но тогда их нет и у чисел $p$ и $q^2$. Как ещё можно понимать слова

Vladimir Pliassov в сообщении #1540996 писал(а):

поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей.

Когда я писал, что левая часть равенства

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r$$

может быть представлена как несократимая дробь, поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей, я имел виду, что, например, в выражении

$$\underbrace{\frac {5}{7}\times \frac {5}{7}\times \ldots \times\frac {5}{7}}_{n}=\frac {5\cdot 5\cdot \ldots \cdot 5}{7\cdot 7\cdot \ldots \cdot 7}$$

ни одна пятерка не может быть сокращена ни с одной семеркой, но, конечно, можно взять и более сложные взаимно простые числа, например,

$$\underbrace{\frac {15}{77}\times \frac {15}{77}\times \ldots \times\frac {15}{77}}_{n}=\frac {15\cdot 15\cdot \ldots \cdot 15}{77\cdot 77\cdot \ldots \cdot 77}.$$

wrest в сообщении #1541011 писал(а):

Как именно из несократимости $p/q$ следует несократимость, например, $p^2/q$?

Мне кажется, что это очевидно из только что приведенных равенств, разве нет?

[zykov]

zykov в сообщении #1541010 писал(а):

Используйте Основную теорему арифметики.

Почитайте по ссылке.

-- 29.11.2021, 19:55 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1540996 писал(а):

доказательство иррациональности корня $n$-ой степени (при натуральном $n$) из натурального числа

Это тоже можно считать очевидным.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541018 писал(а):

Мне кажется, что это очевидно из только что приведенных равенств, разве нет?

Без ссылки на какие-то важные свойства целых чисел - не очевидно.
На самом деле даже исходное утверждение - "если из элемента извлекается корень в поле частных, то из него извлекается корень и в исходном кольце" - неверно для произвольных областей целостности. Так что любое его доказательство должно как-то явно использовать что целые числа - это не произвольная область целостности (достаточно использовать факториальность, но может быть сойдет и какое-то другое свойство).

[Vladimir Pliassov]

zykov в сообщении #1541019 писал(а):

zykov в сообщении #1541010 писал(а):

Используйте Основную теорему арифметики.

Почитайте по ссылке.

Я почитал, во всяком случае, формулировку теоремы (я, конечно, и раньше знал, что любое натуральное число разлагается на простые множители.)

Я не использую разложение чисел $p$ и $q$ на простые множители, я просто говорю, что они по условию несократимы между собой. Но, как я понимаю, надо доказать, что их натуральные степени тоже несократимы между собой. Попробую.

Числа сокращаются тогда, когда в их составах (в разложениях на простые множители) имеются одинаковые сомножители. В составах чисел $p^n=p\cdot p\cdot \ldots \cdot p$ и $q^n=q\cdot q\cdot \ldots \cdot q$ нет одинаковых сомножителей, следовательно, они не сокращаются.

Аналогичное доказательство можно применить и для утверждения ниже:

mihaild в сообщении #1541014 писал(а):

Вы по сути воспользовались утверждением: если $\frac ac$, $\frac ad$, $\frac bc$, $\frac bd$ несократимы, то $\frac{ab}{cd}$ тоже несократима (точнее чуть более сильным, но неважно). Его нужно доказывать, и скорее всего в доказательстве понадобится сослаться на основную теорему арифметики.

В составах чисел $ab$ и $cd$ нет одинаковых сомножителей (что следует из несократимости дробей $\frac ac$, $\frac ad$, $\frac bc$, $\frac bd$ ), следовательно, они не сокращаются.

Верно?

zykov в сообщении #1541019 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1540996 писал(а):

доказательство иррациональности корня $n$-ой степени (при натуральном $n$) из натурального числа

Это тоже можно считать очевидным.

Да, теперь, кажется, понимаю, что несократимость произведения несократимых дробей надо доказывать.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541027 писал(а):

В составах чисел $ab$ и $cd$ нет одинаковых сомножителей

Что значит "состав числа"?

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541029 писал(а):

Что значит "состав числа"?

Под составом числа я имел в виду произведение всех простых множителей, на которые оно разлагается. Должен быть какой-то термин, который обозначает это произведение, но я не могу его найти.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541032 писал(а):

Под составом числа я имел в виду произведение всех простых множителей, на которые оно разлагается.

Так вот существование и единственность этого разложения -- и есть предмет моего замечания. Это не такое уж очевидное свойство натуральных чисел, и его в вашем доказательстве надо было или упомянуть, или привести его доказательство. Не уверен, например, что единственность разложения на простые множители "проходят" в школе.

А так-то да, из существования и единственности разложения на простые множители натуральных чисел очевидным образом следует то, что вы доказывали.

-- 30.11.2021, 01:24 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1541032 писал(а):

но я не могу его найти.

Это потому, что вы не почитали по ссылке ув. zykov котрую он вам дал джва раза.