О пользе канонизации учп.

[пианист]

Речь вот о чем: в довольно большом числе учебников по уравнениям математической физики, а также в учебных курсах, в самом начале, после рассказа о гиперболическом, эллиптическом и параболическом типе уравнения второго порядка с двумя независимыми и одной зависимой переменной следует утверждение о возможности приведения к одной из канонических форм, общим числом три, по одной для каждого типа. А на практических занятиях, соответственно, учащиеся проделывают данную манипуляцию. Так вот, мне эта деятельность представляется сомнительной. Ниже излагаю свое имхо по данному поводу.

Dedekind в сообщении #1540851 писал(а):

Насколько я понимаю, приведение к каноническому виду нужно потому, что для него разработаны аналитические методы решения. У того-же Тихонова-Самарского все последующее (после 1-й главы) изложение методов решений идет в предположении, что уравнение уже сведено к канонической форме.
Но как оно в реальных задачах происходит, я не знаю. Если Вы использовали ДУЧП в своей работе, расскажите, пожалуйста, насколько часто там встречается необходимость привести к канонической форме?

Начну с конца. Я сам никогда данной техникой не пользовался, но это и непоказательно: ввиду специфики моих интересов (имел дело с учп общего положения, преимущественно) сие было бы странно. Так почему же тогда скепсис?
Во-первых, потому, что каноническая форма учп таковой ни разу не является. Когда говорят, что что-то может быть приведено к каноническому виду, подразумевается, что взяв это что-то произвольно, мы сможем подобрать некий эквивалент уже из обозримого числа возможностей, путем изменения координат, формы записи или чего-то еще такого, содержательно непринципиального. Классический пример - квадратичная форма; собс-но, именно он, полагаю, и вдохновил авторов на канонизацию учп. Нам, как бы, говорят: вот мы так же и диффур можем, вместо тьмы разных будем иметь дело с небольшой кучкой типовых форм. Но в случае учп ничего подобного нет! Начнем с того, что применяется процедура отнюдь не к общему случаю, но это бы еще ладно - линейный, так линейный, пусть так. Но и в линейном уравнении канонизируется-то только символ уравнения (совокупность старших производных). И это уже ситуация, когда путаница терминов начинает граничить с жульничеством: говоря о канонической форме всего уравнения, когда речь на самом деле только о символе, создают коннотацию, в которой у диффура важен символ, а остальной частью можно, в каком-то смысле, пренебречь. Что совершенно не так; иначе бы мы теплопроводность $u_t = u_{xx}$ смогли приближать решениями уравнения $u_{xx} = 0$ - явная чепуха.
Собс-но, на Вас это ровно так и повлияло. Вы, похоже, считаете, что Т&С приводят общий вид к одному из трех, а потом с этими тремя работают. На самом же деле теплопроводность, волновое и Лапласа таковы отроду, их совершенно не требовалось приводить.

Ну и, второе, примыкающее к первому: такая канонизация бесполезна. Какой, собс-но, профит можно получить, приведя символ уравнения к каноническому виду? Взяли мы диффур, появившийся в нашей модели чего-то, увидели, что вид неканонический, привели символ к виду $u_{tt} - u_{xx}$, и что дальше?
Если кто-то знает случаи, когда это "дальше" было, отзовитесь. Мне лично они неизвестны. Т&С, похоже, тоже, коль скоро в их учебнике сия техника никак не используется (поправьте меня, если ошибаюсь - сплошную вычитку текста не производил).
Ну, с некоторой оговоркой: допустим, после приведения уравнение приняло вид, что-то типа $u_{tt} - u_{xx} = \varepsilon F$, где $\varepsilon$ по смыслу задачи может быть сочтена малой величиной. Тогда да, можно подумать об асимптотическом разложении решений. Но это, все-таки, очень экзотический случай..

Надо сказать еще, что случаи канонизации учп таки существуют, но как раз о них, почему-то, в учебниках по урматам не пишут. Речь идет об уравнении в частных производных первого порядка, скажем, для случая двух независимых переменных это $F(t, x, u, u_t, u_x) = 0$. Вот оно может быть канонизировано, причем все уравнения могут быть приведены к одному виду (каковым может быть, в частности, $u = 0$, или же $t = 0$.. но это уже совсем другая история (с)). Для этого, правда, нужно применять преобразования не $(t, x)$, и даже не $(t, x, u)$, а $(t, x, u, u_t, u_x)$, сохраняющие смысл $(u_t, u_x)$ (контактные).

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1540896 писал(а):

На самом же деле теплопроводность, волновое и Лапласа таковы отроду, их совершенно не требовалось приводить.

А вот волновое и теплопроводность в движущейся среде таковыми уже не являются. И если мы рассмотрим двумерное волновое уравнение в движущейся со скоростью меньше звука среде, а потом посмотрим на стационарное решение, то получим эллиптическое уравнение общего типа. Т.е. категорически утверждать нельзя.

Если говорить о гиперболическом уравнении, то характеристики играют важнейшую роль. Т.е характеристические координаты (при порядке 2, с двумя независимыми переменными) появляются автоматически. При этом в случае 2х независимых переменных из-за отсутствия фокусировки/расфокусировки задача Коши хорошо поставлена не только в $L^2$, как в общем случае, но и в $L^p$, $1\le p\le \infty$. Как это доказать? А просто через последовательные приближения (невозмущенным будет главная часть в канонической форме, а младшие члены уйдут в возмущение).

Ну и метод Римана.

В общем, это не есть бесполезная деятельность. Другое дело, что до студентов надо донести, что хотя классическая классификация вылезла из квадратичных форм, современная классификация более общих уравнений основывается на аналитических свойствах их, а не на "внешнем виде".

[пианист]

Red_Herring в сообщении #1540902 писал(а):

А вот волновое и теплопроводность в движущейся среде таковыми уже не являются. И если мы рассмотрим двумерное волновое уравнение в движущейся со скоростью меньше звука среде, а потом посмотрим на стационарное решение, то получим эллиптическое уравнение общего типа. Т.е. категорически утверждать нельзя.

Там канонизация символа какую-то пользу приносит?
Кстати, уравнение это случайно не $(\gamma + 1)\varphi_x \varphi_{xx} - \varphi_{yy} = 0$?

Red_Herring в сообщении #1540902 писал(а):

Если говорить о гиперболическом уравнении, то характеристики играют важнейшую роль. Т.е характеристические координаты (при порядке 2, с двумя независимыми переменными) появляются автоматически. При этом в случае 2х независимых переменных из-за отсутствия фокусировки/расфокусировки задача Коши хорошо поставлена не только в $L^2$, как в общем случае, но и в $L^p$, $1\le p\le \infty$. Как это доказать? А просто через последовательные приближения (невозмущенным будет главная часть в канонической форме, а младшие члены уйдут в возмущение).

Ну и метод Римана.

По поводу характеристик никаких возражений, чем больше, тем лучше. Ну и, когда координаты возникают естественно, то нет вопросов.
А вот ежели который метод Римана осилил, то такого студента уже всякими пустяками не запугаешь ;)

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1540938 писал(а):

Кстати, уравнение это случайно не $(\gamma + 1)\varphi_x \varphi_{xx} - \varphi_{yy} = 0$?

Нет. Рассматриваем линейное в. у. в движущейся среде:

$$\bigl[(\partial_t - \boldsymbol{v}\cdot \nabla)^2 u - c^2\Delta \bigr]u=0$$

и смотрим на решение, от $t$ не зависящее:

$$\bigl[(\boldsymbol{v}\cdot \nabla)^2 u - c^2\Delta \bigr]u=0,$$

где $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$. И соответственно при $|\boldsymbol{v}|<c$ и $|\boldsymbol{v}|>c$ получаем уравнение эллиптического и гиперболического типа.

[Dedekind]

пианист
Спасибо за изложение своих мыслей, было интересно прочитать. В любом случае, я понял, что приведение к каноническому виду не самоцель и слишком заморачиваться над этим не нужно. Стоит выполнить пару упражнений для ознакомления и двигаться дальше. Да, и про уравнения первого порядка ТС почему-то не пишут, что странно. Нужно будет почитать про них где-то еще.

[пианист]

Dedekind в сообщении #1541035 писал(а):

про уравнения первого порядка ТС почему-то не пишут

Считается, видимо, что, коль скоро учп первого порядка интегрируется, сиречь сводится к оду, то оно тривиально.

Dedekind в сообщении #1541035 писал(а):

Нужно будет почитать про них где-то еще.

Про интегрирование учп первого порядка можно прочесть в учебнике Курант, Гильберт (второй том).
А вот про приведение к каноническому виду не знаю. Я сам читал в монографии Ли, Энгель http://www.rfbr.ru/rffi/ru/books/o_1781185 , оно там где-то в районе девятой главы (и, насколько я помню, прямо не формулируется). Но читать (или ориентироваться) нужно почти все предыдущие главы.

[Dedekind]

пианист
Посмотрел. Ли, Энгель, видимо, пока рановато для меня, а за Куранта спасибо, подходит, буду обязательно разбираться.

[krum]

(Оффтоп)

Взять, к примеру, Навье-Стокс. К какому типу он отностится? Ни к какому, к Навье-Стоксу. Но по постановке задачи и по основным свойствам и методам работы с ним это параболическое уравнение.

[Red_Herring]

krum в сообщении #1574824 писал(а):

Взять, к примеру, Навье-Стокс. К какому типу он отностится? Ни к какому, к Навье-Стоксу. Но по постановке задачи и по основным свойствам и методам работы с ним это параболическое уравнение.

Квазилинейное (и даже полулинейное) параболическое. Разумеется, есть многие уравнения / системы из физики и т.д., которые нетиповые.

[Утундрий]

Когда я изучал всё это впервые, мне запомнилась фраза лектора: "В прошлом семестре вы закончили ОДУ, а сейчас будете изучать УрЧП. Отличие будет заключаться не только в переходе от обыкновенных производных к частным, но и в том, что УрЧП невозможно закончить".

За точность не поручусь, но смысл был такой.

[krum]

Red_Herring в сообщении #1574830 писал(а):

krum в сообщении #1574824 писал(а):

Взять, к примеру, Навье-Стокс. К какому типу он отностится? Ни к какому, к Навье-Стоксу. Но по постановке задачи и по основным свойствам и методам работы с ним это параболическое уравнение.

Квазилинейное (и даже полулинейное) параболическое. Разумеется, есть многие уравнения / системы из физики и т.д., которые нетиповые.

Квазилинейное параболическое с нелокальными членами, если давление исключили с помощью условия бездивиргентности. В любом случае, это уже очень нетрадиционная "параболичность". Меня, кстати, поправили на семинаре, когда я назвал Навье-Стокс параболическим

[Red_Herring]

krum в сообщении #1574841 писал(а):

если давление исключили с помощью условия бездивиргентности.

действительно, я забыл про давление. Разумеется, физическое условие несжимаемости.

[krum]

Перечитал стартовый пост. Сложилось впечатление, что в одну кучу собрано несколько тем, как минимум две: актуальность для приложений и математическая ценность. Актуальность для приложений этого дела, по-моему, сомнительна. Уравнения из физики как-то уже приходят в канонической форме. А если чисто математически, то есть круг задач (хоть тех, что в задачниках) и есть метод их решения.

-- 18.02.2023, 13:47 --

пианист в сообщении #1540896 писал(а):

Ну и, второе, примыкающее к первому: такая канонизация бесполезна. Какой, собс-но, профит можно получить, приведя символ уравнения к каноническому виду? Взяли мы диффур, появившийся в нашей модели чего-то, увидели, что вид неканонический, привели символ к виду $u_{tt} - u_{xx}$, и что дальше?

дальше в нашем распоряжении вся богатая теория гиперболических уравнений, в частности понимание как ставить начально краевую задачу

[пианист]

krum в сообщении #1582157 писал(а):

дальше в нашем распоряжении вся богатая теория гиперболических уравнений

А без приведения к каноническому виду этой теории нет?

[Утундрий]

А если с ходу не виден тип уравнения?