О пользе канонизации учп.

[пианист]

Утундрий в сообщении #1582161 писал(а):

А если с ходу не виден тип уравнения?

(Если это мне вопрос..) Так определить тип существенно проще, чем приводить символ же..

[Утундрий]

Кстати, спросил тут у ясеня...

Цитата:

Расскажи о канонических формах дифференциальных уравнений в частных производных.

угадайтекто писал(а):

Канонические формы ДУЧП.

Канонические формы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) - это стандартные виды ДУЧП, к которым можно свести любое ДУЧП путем преобразований координат и замен переменных. Канонические формы ДУЧП обладают рядом полезных свойств, которые позволяют решать эти уравнения аналитически или численно.

Существует несколько канонических форм ДУЧП, включая:

Уравнение теплопроводности:

$$u_t = \alpha^2 \nabla^2 u,$$

где $u$ - искомая функция, $t$ - время, $\alpha$ - коэффициент теплопроводности, а $\nabla^2$ - оператор Лапласа.

Уравнение волновой динамики:

$$u_{tt} = c^2 \nabla^2 u,$$

где $c$ - скорость распространения волны.

Уравнение Лапласа:

$$\nabla^2 u = 0,$$

которое описывает стационарные процессы без источников и стоков.

Уравнение Пуассона:

$$\nabla^2 u = f,$$

где $f$ - заданная функция, которая может интерпретироваться как источник или сток.

Эти канонические формы ДУЧП могут быть использованы для решения большого класса физических задач, включая теплопроводность, колебания и распространение волн, электростатику, гравитацию и многие другие. Каждая каноническая форма обладает своими уникальными свойствами, которые позволяют использовать различные методы решения и аппроксимации для получения численных или аналитических решений.

[krum]

пианист в сообщении #1582158 писал(а):

А без приведения к каноническому виду этой теории нет?

Ну вот, например, формула Пуассона для одномерного уравнения теплопроводности. Как Вы ее себе представляете вне канонической формы уравнения?

[Red_Herring]

krum в сообщении #1582171 писал(а):

Ну вот, например, формула Пуассона для одномерного уравнения теплопроводности.

А для чего она нужна? Для решения задачи Коши, т.е. временная переменная уже выделена и т.о. форма приведена к главным осям.

[пианист]

krum в сообщении #1582171 писал(а):

пианист в сообщении #1582158 писал(а):

А без приведения к каноническому виду этой теории нет?

Ну вот, например, формула Пуассона для одномерного уравнения теплопроводности. Как Вы ее себе представляете вне канонической формы уравнения?

К вышесказанному уважаемым Red_Herring добавил бы еще, что это следствие симметричности одномерного уравнения теплопроводности. А симметрия существует независимо от выбранных координат.

[krum]

пианист в сообщении #1582297 писал(а):

А симметрия существует независимо от выбранных координат.

Разумеется. Только констатации наличия симметрии недостаточно.
Вы, ведь, настаиваете на том, что теорию того же параболического уравнения можно развить и не приводя его к главным осям, так? Значит все результаты, сформулированные в главных осях Вы можете сформулировать, и что гораздо важнее, дрказать и без приведения к главным осям. Вот я Вам и предлагаю это продемонстрировать на конкретном примере.
И так, из формулы Пуассона следует, что в весьма широком классе начальных условий решение является целой функцией $x$ при каждом $t>0$. Получите это не приводя к каноническому виду параболическое уравнение.
Сформулируйте соответствующую теорему для параболического уравнения в общем виде , не приведенного к каноническому виду. И докажите ее из Вашей техники, которой не нужен канонический вид.
Здесь сформулируйте и докажите. А потом сравним со стандартной теорий и вплане трудоемкости в вообще.

-- 19.02.2023, 11:03 --

Red_Herring в сообщении #1582173 писал(а):

Для решения задачи Коши, т.е. временная переменная уже выделена и т.о. форма приведена к главным осям.

У Вас есть сомнения в том, что поставить задачу Коши можно и не приводя к главным осям уравнение?

[пианист]

krum в сообщении #1582309 писал(а):

Вы, ведь, настаиваете на том, что теорию того же параболического уравнения можно развить и не приводя его к главным осям, так?

Нет.
Я говорил о сомнительной полезности приведения символа уравнения к каноническому виду, $u_t = u_{xx} + F(t,x,u,u_x)$.
Уравнения теплопроводности как было Фурье получено, в таком виде его и изучают по сей день. Никакой надобности "приводить" не было.

[krum]

пианист в сообщении #1582312 писал(а):

Нет.

тогда извините

[Red_Herring]

В параболических уравнениях переменная времени особая, потому что плоскости (или линии) $t=const $ выделены. А вот дальнейшее приведение к главным осям (в многомерном случае для параболических уравнений второго порядка) не очень полезно.

Кстати, уравнение $u_t+u_{xxxx}=0$ параболическое. К уравнениям 2го порядка нужно относиться с уважением, поскольку для них может быть принцип максимума, но уравнения высших порядков и системы важны, а там нужны общие подходы.