Странная задачка

[mkot]

Цитата:

(1.2)$\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)={(1\cdot 2)}+{(3\cdot4)}+{(5\cdot6)}+...+{(97\cdot98)}+{(99\cdot100)}
Я правильно начал?

Нет. последнее слагаемое $100\cdot 101$, а первое $2\cdot 3$.

[Taurendil]

$\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)={(2\cdot 3)}+{(3\cdot4)}+{(4\cdot5)}+...+{(99\cdot100)}+{(100\cdot101)}
Значит так ))

[GAA]

Taurendil писал(а):

$\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)={(2\cdot 3)}+{(3\cdot4)}+{(4\cdot5)}+...+{(99\cdot100)}+{(100\cdot101)}
Значит так ))

Ответ в (1.2) содержит два слагаемых.

Подсказка
Сформулированное в моём первом сообщении правило «вычисления сумм при помощи разностей» удобно, если последовательность ${a_n}$ убывает. Если последовательность возрастает (как, например, в (1.2) или (2.2)), то удобна такая модификация правила (её мы сформулируем в несколько более общем виде). Пусть $a_n$ можно представить в виде $a_n = c(b_{n+1} - b_{n})$, где $c$ — некоторая константа, тогда
$\sum\limits_{n=l}^N a_n = c(b_{N+1} - b_{l})$.

В (1.2) можно записать $n(n+1) = 1/3 [n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)]$. Поэтому $\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)= 1/3[b_{100+1} - b_{2}] = 1/3[100 \cdot 101\cdot 102 - 1 \cdot 2 \cdot 3]$.

[Taurendil]

а откуда $1/3$ появилась?

[GAA]

Не понял, что Вы хотите спросить. Задавайте вопросы в развернутом виде. И перед тем как задавать подумайте. Тогда, скорее всего, Вам и ответят.

[Taurendil]

Вот я решаю 2.1
$\sum\limits_{n=2}^{100} {\frac {1}{(n-1)n (n+1)}}={\frac{1}{1\cdot2\cdot3}}+{\frac{1}{2\cdot3\cdot4}}+{\frac{1}{3\cdot4\cdot5}}+...+{\frac{1}{99\cdot100\cdot101}}$
$\sum\limits_{n=2}^{100} {\frac {1}{(n-1)n (n+1)}}={\frac{1}{6}}+{\frac{1}{24}}+{\frac{1}{60}}+...+{\frac{1}{999900}}$
$\sum\limits_{n=2}^{100} {\frac {1}{(n-1)n (n+1)}}={\frac{1}{6}}({1}+{\frac{1}{4}}+{\frac{1}{10}}+...+{\frac{1}{166650}})$

Вот дальше не знаю, что будет о_О

[GAA]

Легко угадать, что $\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{A}{(n-1)n} - \frac{A}{n(n+1)})$, где $A$ — некоторая константа.
Taurendil, путем приведения правой части к общему знаменателю, найдите при каком $A$, выполняется равенство. И попробйте применить правило из моего первого сообщения, полагая $b_n = \frac{A}{(n-1)n}$, и обобщая его [правило], как я это делал для возрастающей последовательности.

[Taurendil]

$\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{A}{(n-1)n} - \frac{A}{n(n+1)});$ $\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{A\cdot{(n+1)}}{(n-1)n(n+1)} - \frac{A\cdot{(n-1)}}{(n-1)n(n+1)});$ $\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{(An+A)-(An-A)}{(n-1)n(n+1)});$ $\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{2A}{(n-1)n(n+1)});$ $A=\frac{1}{2}$

[GAA]

Taurendil писал(а):

$A=\frac{1}{2}$

Правильно.

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

Если вы еще не привыкли к символу суммы $\sum$, то, на первых порах, можно просто выписать несколько первых и последних членов суммы, подобно тому, как это сделал для Вас mkot, и посмотреть, что сократится, а что останется.

mkot писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{100} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} +\frac{1}{3\cdot 4} +\frac{1}{4\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 6} + \ldots+ \frac{1}{100\cdot 101} $.
Теперь замечаем, что $\frac{1}{n\cdot(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$, поэтому
предыдущая сумма равна
$= \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right)$.
Теперь по другому расставим скобки
$= 1 + \left(- \frac12 + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \left(-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + \ldots + \left(-\frac{1}{100}+\frac{1}{100}) - \frac{1}{101}$.
В скобках стоят нули, поэтому останутся только $1 $ и $\frac{1}{101}$.

[Taurendil]

$b_n=\frac{(n-1)n}{2}$

[mkot]

Taurendil писал(а):

$b_n=\frac{(n-1)n}{2}$

Если я правильно понял, то это не правильный ответ.

[Taurendil]

A=1/2
$b_n=1/2n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$

[mkot]

Цитата:

A=1/2
$b_n=1/2n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$

Чуть выше написано:

GAA писал(а):

полагая $b_n = \frac{A}{(n-1)n}$, и обобщая его [правило], как я это делал для возрастающей последовательности.

И вы пишите:

Цитата:

$\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = (\frac{A}{(n-1)n} - \frac{A}{n(n+1)});$

Разве не должно получиться $\frac{1}{2n(n-1)}$? Нет?

[GAA]

В примере 2.1 $b_n = \frac{1/2}{(n-1)n}$.

Подобно тому, как mkot писал: «Теперь заметим, что $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}$, поэтому предыдущая сумма равна...»,
Вы можете написать: «Теперь заметим, что $\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = \frac {1/2} { (n-1)n} -\frac{1/2}{n(n+1)}$ поэтому » и продолжить решение по образцу и подобию.
Если Вы не понимаете, что делать — разберитесь с решением участника mkot.

[Taurendil]

Точно. Недосчитал)

Добавлено спустя 39 минут 29 секунд:

$\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = \frac {1/2} { (n-1)n} -\frac{1/2}{n(n+1)}$ поэтому предыдущая сумма равна
$=\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{12}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{24}\right) +\left(\frac{1}{24} - \frac{1}{40}\right) + \left(\frac{1}{40} - \frac{1}{60}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{19404} - \frac{1}{19800}\right) + \left(\frac{1}{19800} - \frac{1}{20200}\right)$
Теперь по другому расставим скобки
$=\frac{1}{4} + (\frac{1}{12}\right - \frac{1}{12}) + (\frac{1}{24} -\frac{1}{24})+(\frac{1}{40} - \frac{1}{40}) + \ldots + \left(\frac{1}{19800} - \frac{1}{19800}\right)+\frac{1}{20200}$
В результате остаются $\frac{1}{4}+\frac{1}{20200}$
Ответ:$\frac{5051}{20200}$

Добавлено спустя 25 минут 57 секунд:

Приступаю к заданию 2.2
$\sum\limits_{n=1}^{100} {(n-1)n (n+1)}=(0\cdot1\cdot2)+(1\cdot2\cdot3)+(2\cdot3\cdot4)+(3\cdot4\cdot5)+...+(99\cdot100\cdot101)=$ $=0+6+24+60+...+999900$