Наиболее общее выражение для интервала в сферических коорд.

[kzv]

Пробую разобраться с решением Шварцшильда. Передо мной две книги: ЛЛ-т2 и Дирак П. А. М. Общая теория относительности.
В той и в другой книге, в самом начале решения, приводятся примерно одинаковые слова о том, что "наиболее общее выражение для интервала в сферических координатах имеет вид"...
Только вот вид этот разный.

Версия Ландау
$ds^2=h(r,t)dr^2+k(r,t)(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)+l(r,t)dt^2+a(r,t)drdt$

Версия Дирака
$ds^2=Vdr^2+Wr^2(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)+Udt^2$

Судя по всему, у Ландау вид все таки более общий чем у Дирака. Мой вопрос в следующем: откуда этот наиболее общий вид берется, как его получить самому? Просто моя версия явно отличается от обеих, если раскрыть скобки:

$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2dt^2-d(r\cos \varphi \sin \theta )^2-d(r \sin \varphi \sin \theta)^2-d(r \cos \theta)^2$

[kzv]

Кажется сам разобрался.

$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$
$ds^2=g_{00}dx^0dx^0+g_{01}dx^0dx^1+...+g_{11}dx^1dx^1+g_{12}dx^1dx^2+...$

В общем случае компоненты метрического тензора - это функции от координат и времени, так что видимо если перейти теперь в сферические координаты, то действительно можно получить самый общий вид интервала, где будут присутствовать слагаемые вида $drdt$ которые есть у Ландау и почему-то нет у Дирака.

[svv]

kzv
Вы не упоминаете о важной вещи: речь идёт о сферически симметричной системе.

[kzv]

svv в сообщении #1540644 писал(а):

kzv
Вы не упоминаете о важной вещи: речь идёт о сферически симметричной системе.

Возможно это важно, но я не понимаю этой важности просто.
Я думал, что просто нужно перейти в сферические координаты из декартовых и получится нужная формула. Условие сферической симметрии как-то упрощает этот переход?

[manul91]

kzv в сообщении #1540541 писал(а):

Кажется сам разобрался.

$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$
$ds^2=g_{00}dx^0dx^0+g_{01}dx^0dx^1+...+g_{11}dx^1dx^1+g_{12}dx^1dx^2+...$

В общем случае компоненты метрического тензора - это функции от координат и времени, так что видимо если перейти теперь в сферические координаты, то действительно можно получить самый общий вид интервала, где будут присутствовать слагаемые вида $drdt$ которые есть у Ландау и почему-то нет у Дирака.

Выражение $ds^2=g_{ik}dx^idx^k$ написанное вами выше это и есть самый общий случай для любых координат.

"Переход" к "более конкретному выражению" (например выражение в "сферических координат" Ландау выше) делается далее на основе двух соображений:
- Дозволены любые преобразования координат $x'^i = f_i(x^0,x^1,x^2,x^3)$ (таким образом например, мы можем привести некоторые из $g_{ik} к наперед заданному виду в новых координат, частично "упрощая" наиобщий вид метрики)
- сферической симметрии (из-за этого например все коеффициенты (типа $h(r,t)$ перед $dr^2$) при "сферических координат" будут являться функциями только $r$ и $t$, но не и угловых координат)

kzv в сообщении #1540425 писал(а):

Судя по всему, у Ландау вид все таки более общий чем у Дирака. Мой вопрос в следующем: откуда этот наиболее общий вид берется, как его получить самому? Просто моя версия явно отличается от обеих, если раскрыть скобки:
$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2dt^2-d(r\cos \varphi \sin \theta )^2-d(r \sin \varphi \sin \theta)^2-d(r \cos \theta)^2$

Цитата:

Возможно это важно, но я не понимаю этой важности просто.
Я думал, что просто нужно перейти в сферические координаты из декартовых и получится нужная формула. Условие сферической симметрии как-то упрощает этот переход?

Такое рассуждение не годится в данном случае (ну возможно, только как "подсказка" для подстегивания интуиции но не более).
Так как написанные вами метрики - это плоское пространство-время (минковского) при отсутствии гравитирующих тел (в разных координат).
Онr не будут иметь место в искривленном пространстве-времени Шварцшильда, и соответно нельзя пытаться "вытаскивать" из них чего-нибудь для этого случая.

Поэтому логически правильный путь - как у Ландау - начать с наиобщий вид метрики в произвольных координат, сузить/фиксировать насколько можно вид коеффициентов (из соображений возможности координатных преобразований плюс сферической симметрии) до максимально удобно-конкретного вида - и далее решать уравнения.

[svv]

kzv в сообщении #1540647 писал(а):

Возможно это важно

Обратите внимание на слова «где $U,V,W$ зависят только от $r$» в этом фрагменте, об этом же говорил manul91.

Аналогичный фрагмент можно привести из ЛЛ2. Сам §100, в котором приводится эта формула для интервала, называется «Центрально-симметричное гравитационное поле». Как же Вы не заметили такого слона? Ну, ладно, бывает.

[kzv]

Спасибо за ответы!
Подскажите еще, а как узнать: вывод соотношения для интервала в форме как у Ландау где-то публиковался ранее? Задача, как мне кажется, не тривиальная. В интернете ничего найти не могу. Есть смысл в том, чтобы попытаться вывести его руками и опубликовать где-нибудь с пояснениями? Или это будет изобретение велосипеда?

[Geen]

kzv в сообщении #1540680 писал(а):

Задача, как мне кажется, не тривиальная.

А что в ней нетривиального? - просто берём метрику общем виде и "вычёркиваем" коэффициенты по соображениям "симметрии".
(На самом деле, есть соответствующие теоремы).

[kzv]

Geen в сообщении #1540692 писал(а):

kzv в сообщении #1540680 писал(а):

Задача, как мне кажется, не тривиальная.

"вычёркиваем" коэффициенты по соображениям "симметрии".
(На самом деле, есть соответствующие теоремы).

Ну вот эти соображения и теоремы мне и кажутся нетривиальными. Найти бы, где есть вывод со всеми ссылками?
Например, пока не могу понять: куда деваются угловые множители: $drd\varphi$; $drd\theta$ ...?

[svv]

Тут вот что надо учесть. Даже если физическая система идеально сферически симметрична (например, одна неподвижная частичка), для её описания можно выбрать неподходящую систему координат. Например, какие-нибудь сфероидальные координаты. В них интервал уже не будет иметь тот вид, что у Дирака. Да что там сфероидальные, достаточно взять обычные сферические координаты, но центр поместить не там, где находится частичка. Так что система координат должна соответствовать симметрии системы.

kzv в сообщении #1540693 писал(а):

Например, пока не могу понять: куда деваются угловые множители: $drd\varphi$; $drd\theta$ ...?

Для простоты будем говорить об искривлённом трёхмерном пространстве. Если в нём введена система координат $(r,\theta,\varphi)$, то в каждой точке $P$ определён локальный координатный базис из векторов $(\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi)$ или, короче, $(\mathbf e_i)$. В другой точке — другой базис, так что точнее было бы писать $\mathbf e_i(P)$, но не хочется загромождать запись.

Каждый из базисных векторов $\mathbf e_i$ в точке $P$ касателен к «своей» координатной линии, то есть кривой, которая получится, если стать в $P$, а затем начать менять координату $x^i$, остальные сохраняя неизменными. Например, вектор $\mathbf e_r$ в точке $P$ касателен к координатной линии $r$, проходящей через $P$. Базисные векторы в общем случае не являются ни единичными, ни ортогональными друг другу.

Существует соотношение между базисными векторами $(\mathbf e_i)$ и компонентами метрического тензора в той же точке:
$g_{ik}=\mathbf e_i\cdot \mathbf e_k$
Итак, если в любой точке базисные векторы ортогональны друг другу, матрица $(g_{ik})$ в любой точке будет диагональной.

В выражении для $ds^2$ коэффициент перед множителем $dr\,d\varphi$ — это компонента $g_{r\varphi}$ (точнее, ещё с множителем $2$). Если она равна нулю, соответствующее слагаемое в развёрнутой сумме не пишут. Если она не равна нулю, это значит, что $\mathbf e_{r}\cdot \mathbf e_{\varphi}\neq 0$, то есть векторы $\mathbf e_{r}$ и $\mathbf e_{\varphi}$ неортогональны. А это означает, что обозначения $r,\theta,\varphi$ создают только видимость сферической системы, но на самом деле СК нарушает сферическую симметрию: «радиальная» координатная линия $r$ образует непрямой угол со сферой, проходящей через точку $P$ и с центром в начале координат.

[Geen]

kzv в сообщении #1540693 писал(а):

куда деваются угловые множители: $drd\varphi$; $drd\theta$ ...?

Более того, даже $drdt$ можно ликвидировать, по крайней мере в некоторой области, введением новой временной координаты.

-- 27.11.2021, 01:11 --

kzv в сообщении #1540425 писал(а):

Судя по всему, у Ландау вид все таки более общий чем у Дирака.

У обоих есть избыточность. Например, никто не мешает переопределить $r$ так, что бы было $r^2d\Omega^2$...

[manul91]

kzv в сообщении #1540693 писал(а):

Найти бы, где есть вывод со всеми ссылками?

На английской википедии это неплохо расписано.
Хотя там требуют статическое пространство-время наперед - что вроде логически неправильно.
Незавимость $g_{ik}$ от времени нельзя наперед постулировать (такая зависимость от времени не противоречит ни сферической симметрии, ни сферичности координат; наперед нельзя отметать сферически-симметричные решения "центрально-пульсирующего" вида); эта независимость имхо должна получаться из самого решения уравнений, как у Ландау.

Что коеффициентов перед $x^{1,2,3} dt$ можно брать нулевыми например - это из-за симметрии координат/физической ситуации относно направления времени ("geometry of the spacetime is unchanged under a time-reversal $t\rightarrow -t$")
Для вращающeгося тела это уже не будет выполняться (так как ситуация не симметрична относно обращения времени); в частности в решения Керра перекрестный коеффициент с соответствующей угловой координатой и $dt$ не нулевой.

[Slav-27]

Давайте докажем, что любая $SO(3)$-инвариантная метрика на $\mathbb R^{4}=\{(t,x,y,z)\}$, где $SO(3)$ действует обычным образом на последние 3 координаты,
в стандартных сферических координатах $\Big(t,r(x,y,z),\varphi(x,y,z),\theta(x,y,z)\Big)$, определяемых соотношением $(t,x,y,z)=(t, r\cos\theta\cos\varphi, r\cos\theta\sin\varphi, r\sin\theta),$ имеет вид

kzv в сообщении #1540425 писал(а):

$h(r,t)dr^2+k(r,t)(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)+l(r,t)dt^2+a(r,t)drdt$.

Будем обозначать $\mathbf e_t, \mathbf e_r,\mathbf e_\varphi,\mathbf e_\theta$ касательные векторы к координатным линиям, соответствующие этой системе координат (иначе их обозначают $\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial r}$...).

У сферы $r=\operatorname{const}$ в $\mathbb R^3$ есть 2 замечательных свойства:
1) любую точку можно элементом $SO(3)$ перевести в любую другую,
2) более того, любой касательный луч можно дифференциалом элемента $SO(3)$ перевести в любой другой.

Сначала зафиксируем $r$ и $t$ и рассмотрим ограничение метрики на получившуюся сферу. Из $SO(3)$-инвариантности и свойства 2 следует, что метрика полностью определяется заданием длины какого-нибудь одного ненулевого касательного вектора, то есть она пропорциональна стандартной метрике сферы, то есть имеет вид $k(r,t)(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2)$. (Выражение для стандартной метрики сферы можно получить явным вычислением дифференциала отображения параметризации $\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $(\varphi,\theta)\mapsto (r\cos\theta\cos\varphi, r\cos\theta\sin\varphi, r\sin\theta)$.)

Теперь рассмотрим $\mathbf e_r$ в какой-нибудь точке этой сферы. По свойству 1, квадрат его длины не зависит от $\varphi,\theta$, то есть равен некоему числу $h(r,t)$. Рассмотрим проекцию $\mathbf e_r$ на касательную плоскость к сфере; по свойству 2, эта проекция инвариантна относительно вращений плоскости, то есть нулевая; поэтому $\langle\mathbf e_r,\mathbf e_\varphi\rangle=\langle\mathbf e_r,\mathbf e_\theta\rangle=0$. Значит, ограничение нашей метрики на гиперплоскость с постоянным $t$ имеет вид $h(r,t)dr^2+k(r,t)(\sin^2\theta d\varphi^2+d\theta^2).$

Теперь сделаем то же самое с $\mathbf e_t$. По тем же соображениям, что и для $\mathbf e_r$, квадрат длины $\langle\mathbf e_t,\mathbf e_t\rangle=:l(r,t)$ и $\langle\mathbf e_r,\mathbf e_t\rangle=:\frac12a(r,t)$ не зависят от $\varphi,\theta$, $\langle\mathbf e_t,\mathbf e_\varphi\rangle=\langle\mathbf e_t,\mathbf e_\theta\rangle=0$. Получили искомое. Обратно, любая такая инвариантна, потому что каждое из 4 слагаемых инвариантно.

[kzv]

Всем спасибо, я нашел пожалуй максимально подробный математический вывод в книге "Вайнберг С. Гравитация и космология. 1975". Там этой теме посвящена чуть ли не вся глава 13 "Симметричные пространства". В самом конце 13 главы наконец-то дается уравнение в том виде как у Ландау.