2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 21:13 


07/03/13
49
Условие задачи:

Составить уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $R$, имеющего ось $\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{a}t$.

-----

Искомый цилиндр -- это такое множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$. Ответ:

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$

Видимо, я не понял что требуется по условию. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 21:19 


14/02/20
487
А что вам непонятно? Почему

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$


то же множество, что и

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):
множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$.


?

Или что-то еще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 22:05 


07/03/13
49
artempalkin в сообщении #1539217 писал(а):
А что вам непонятно?


Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 22:14 


14/02/20
487
Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):
Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение20.11.2021, 14:38 


07/03/13
49
artempalkin в сообщении #1539242 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):
Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.


Положим, что

$$\vec{r}_1 = (x,y,z), \vec{r}_0 = (x_0,y_0,z_0),\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$$

Тогда

$$
\frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} = 
\frac{
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|
}{|\vec{a}|} = $$

$$=\sqrt{\frac{
\begin{vmatrix}
y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_2 & a_3
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
x-x_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_3 \\
\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}
x-x_0 & y-y_0 \\ 
a_1 & a_2 \\
\end{vmatrix}^2
}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}
$$

Я не понимаю где тут уравнение цилиндра. Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение20.11.2021, 20:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1505
москва
Alexander__ в сообщении #1539934 писал(а):
Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями.

Множители совсем не произвольные, потому что $\vec r_0$ и $ \vec a$ -это заданные векторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 09:13 


14/02/20
487
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 14:36 


07/03/13
49
artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.


Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 21:33 


14/02/20
487
Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):
Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 10:42 


07/03/13
49
artempalkin в сообщении #1540422 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):
Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)


Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 10:45 


14/02/20
487
Alexander__ в сообщении #1540481 писал(а):
Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

Так где же? Тут "двойные прямые" скобки. $|*|$ так обозначается только определитель.

Матрицы обозначаются круглыми (с закруглениями), квадратными или двойными прямыми скобками. Зависит от предпочтений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 21:37 


07/03/13
49
artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.


Там модуль от определителя. Т.е. двойные прямые скобки. Т.е. возможна путаница с просто матрицей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group