2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 21:13 


07/03/13
123
Условие задачи:

Составить уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $R$, имеющего ось $\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{a}t$.

-----

Искомый цилиндр -- это такое множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$. Ответ:

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$

Видимо, я не понял что требуется по условию. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 21:19 


14/02/20
832
А что вам непонятно? Почему

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$


то же множество, что и

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):
множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$.


?

Или что-то еще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 22:05 


07/03/13
123
artempalkin в сообщении #1539217 писал(а):
А что вам непонятно?


Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение14.11.2021, 22:14 


14/02/20
832
Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):
Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение20.11.2021, 14:38 


07/03/13
123
artempalkin в сообщении #1539242 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):
Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.


Положим, что

$$\vec{r}_1 = (x,y,z), \vec{r}_0 = (x_0,y_0,z_0),\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$$

Тогда

$$
\frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} = 
\frac{
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|
}{|\vec{a}|} = $$

$$=\sqrt{\frac{
\begin{vmatrix}
y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_2 & a_3
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
x-x_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_3 \\
\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}
x-x_0 & y-y_0 \\ 
a_1 & a_2 \\
\end{vmatrix}^2
}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}
$$

Я не понимаю где тут уравнение цилиндра. Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение20.11.2021, 20:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Alexander__ в сообщении #1539934 писал(а):
Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями.

Множители совсем не произвольные, потому что $\vec r_0$ и $ \vec a$ -это заданные векторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 09:13 


14/02/20
832
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 14:36 


07/03/13
123
artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.


Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение24.11.2021, 21:33 


14/02/20
832
Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):
Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 10:42 


07/03/13
123
artempalkin в сообщении #1540422 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):
Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)


Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 10:45 


14/02/20
832
Alexander__ в сообщении #1540481 писал(а):
Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

Так где же? Тут "двойные прямые" скобки. $|*|$ так обозначается только определитель.

Матрицы обозначаются круглыми (с закруглениями), квадратными или двойными прямыми скобками. Зависит от предпочтений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение цилиндра, имеющего ось
Сообщение25.11.2021, 21:37 


07/03/13
123
artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):
$$
\left|
\det\left(
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ 
a_1 & a_2 & a_3 \\
\end{bmatrix} 
\right)
\right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.


Там модуль от определителя. Т.е. двойные прямые скобки. Т.е. возможна путаница с просто матрицей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group