Составить уравнение цилиндра, имеющего ось

[Alexander__]

Условие задачи:

Составить уравнение прямого кругового цилиндра радиуса $R$, имеющего ось $\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{a}t$.

-----

Искомый цилиндр -- это такое множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$. Ответ:

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$

Видимо, я не понял что требуется по условию. Помогите разобраться, пожалуйста.

[artempalkin]

А что вам непонятно? Почему

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):

$$\left\{M(\vec{r}_1): R = \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} \right\} $$

то же множество, что и

Alexander__ в сообщении #1539214 писал(а):

множество точек $M$ с радиус-вектором $\vec{r}_1$, для которых расстояние до прямой равно $R$.

?

Или что-то еще?

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1539217 писал(а):

А что вам непонятно?

Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

[artempalkin]

Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):

Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1539242 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1539239 писал(а):

Проделал ли я все шаги в решении, чтобы получить более наглядное представление искомого множества точек.

А, то есть вопрос, нельзя ли представить решение в более простом виде? Нет, думаю, что нет. Если вы запишете свое уравнение в координатах, вы получите единственное возможное уравнение цилиндра. Получить его, конечно, можно другими способами.

Положим, что

$$\vec{r}_1 = (x,y,z), \vec{r}_0 = (x_0,y_0,z_0),\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$$

Тогда

$$ \frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0, \vec{a}]|}{|\vec{a}|} = \frac{ \left| \det\left( \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{bmatrix} \right) \right| }{|\vec{a}|} = $$

$$=\sqrt{\frac{ \begin{vmatrix} y-y_0 & z-z_0 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x-x_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_3 \\ \end{vmatrix}^2 +\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 \\ a_1 & a_2 \\ \end{vmatrix}^2 }{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} $$

Я не понимаю где тут уравнение цилиндра. Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями. Помогите разобраться, пожалуйста.

[mihiv]

Alexander__ в сообщении #1539934 писал(а):

Раскрою определители, и $x,y,z$ будут с произвольными множителями.

Множители совсем не произвольные, потому что $\vec r_0$ и $ \vec a$ -это заданные векторы.

[artempalkin]

$$ \left| \det\left( \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{bmatrix} \right) \right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):

$$ \left| \det\left( \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{bmatrix} \right) \right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.

Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

[artempalkin]

Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):

Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1540422 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1540349 писал(а):

Иногда так обозначают матрицу. Поэтому сделал во избежание путаницы.

Нет, так никогда не обозначают матрицу. Так всегда обозначают только определитель, т.е. число (или элемент поля)

Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

[artempalkin]

Alexander__ в сообщении #1540481 писал(а):

Например, http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A1%D1%83% ... 0%B8%D1%86

Так где же? Тут "двойные прямые" скобки. $|*|$ так обозначается только определитель.

Матрицы обозначаются круглыми (с закруглениями), квадратными или двойными прямыми скобками. Зависит от предпочтений.

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1540325 писал(а):

$$ \left| \det\left( \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{bmatrix} \right) \right|$$

Ого, вот это круто :) Но вообще достаточно было вместо вот такой конструкции $\det([])$ достаточно было бы просто $||$.

Там модуль от определителя. Т.е. двойные прямые скобки. Т.е. возможна путаница с просто матрицей.