Найти собственные числа матрицы

[toofack]

Дана матрица $E + uu^t$, нужно найти ее собственные значения. Я начал так: зная, что $det(\lambda E - AB) = det(\lambda E - BA)$ рассмотрим

$$det(\lambda E - (E+uu^t)) = det(\lambda E -u(u^{-1}+u^t)) = det(\lambda E -(u^{-1}+u^t)u) = det(\lambda E -(E+u^tu)) = 0$$

Из-за размерностей получаем, что $det(\lambda - (1+ uu^t)) = 0$ Отсюда, $\lambda = 1 + uu^t$. На простых примерах проверял, получаются собственные значения, все 1, и как раз $1 +uu^t$. Можете подсказать, куда двигаться, а то решение кажется неверным, хотя вроде бы 1 собственное значение верно нахожу.

[zykov]

Что такое $u$? Квадратная матрица, прямоугольная матрица, вектор-столбец?

-- 24.11.2021, 18:14 --

Если это вектор-столбец, то $uu^T$ - проектор на направление $u$ с растяжением в $|u|^2$ раз.
Т.е. в своём базисе это диагональный оператор, где один элемент $|u|^2$, другие нули.
Если прибавить $E$, то первый элемент будет $1+|u|^2=1+u^T u$, остальные станут 1.

[Евгений Машеров]

В предположении, что u - вектор, рассмотрим матрицу $u^Tu$. Очевидно, что ранг её 1, все собственные значения, кроме одного, нули, а одно равно... (тут Шехерезада прекращает дозволенные речи)
Затем ответим на вопрос, как изменятся собственные значения при прибавлении к исследуемой матрице единичной (или вообще скалярной). Если $Ax=\lambda x$, то, заменяя $A$ на $A+kI$... (Шехерезада вновь умолкает)

[nnosipov]

toofack в сообщении #1540386 писал(а):

Дана матрица $E + uu^t$, нужно найти ее собственные значения.

Да не мелочитесь, находите сразу характеристический многочлен матрицы $uv^t$. А собственные значения бесплатно будут.

[TOTAL]

toofack в сообщении #1540386 писал(а):

На простых примерах проверял

На простых примерах научите, как находить $u^{-1}$

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1540390 писал(а):

все собственные значения, кроме одного, нули

А это, кстати, не очевидно. И вообще, собственных значений всего два: ноль и вот то, второе. Надо еще найти собственные подпространства к каждому из них, чтобы можно было говорить о кратности (алгебраической, она же и геометрическая в данном случае).

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1540397 писал(а):

А это, кстати, не очевидно.

Тут уже без топик-стартера предположили, что $u$ вектор.

[nnosipov]

Само собой, вектор, но даже в этой ситуации надо найти собственные векторы, чтобы что-то сказать про кратность собственных значений.

[toofack]

TOTAL в сообщении #1540395 писал(а):

toofack в сообщении #1540386 писал(а):

На простых примерах проверял

На простых примерах научите, как находить $u^{-1}$

Вот это токсичность

[lel0lel]

toofack в сообщении #1540402 писал(а):

Вот это токсичность

Какая же это токсичность, это указание на ошибку в ваших рассуждениях, ну немного с юмором.

[nnosipov]

toofack в сообщении #1540386 писал(а):

рассмотрим

$$det(\lambda E - (E+uu^t)) = det(\lambda E -u(u^{-1}+u^t)) = det(\lambda E -(u^{-1}+u^t)u) = det(\lambda E -(E+u^tu)) = 0$$

О, а здесь какое-то шаманство происходит, действительно.

[toofack]

lel0lel в сообщении #1540403 писал(а):

toofack в сообщении #1540402 писал(а):

Вот это токсичность

Какая же это токсичность, это указание на ошибку в ваших рассуждениях, ну немного с юмором.

Да, ошибка глупейшая. Когда не с человеком общаешься, а просто читаешь, все кажется не в том тоне, каким автор подразумевал :)

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1540397 писал(а):

А это, кстати, не очевидно.

Из ранга очевидно, равного 1.

[lel0lel]

По-моему эта задачка раз третий за последнее время на форуме обсуждается.

[nnosipov]

Да, этот сюжет (в разных версиях) периодически возникает. Возможно, потому, что он часто попадается в вступительных задачах ШАД, отсюда и интерес публики.

-- Чт ноя 25, 2021 11:17:35 --

Евгений Машеров в сообщении #1540410 писал(а):

Из ранга очевидно, равного (n-1)

Ну так это же нужно подсчитать. Для студента это вполне содержательный вопрос.