Аналит.геом., точка в плоскости пересечения медиан

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

-----

Через точку $P(-1,2,3)$ провести плоскость так, чтобы в треугольнике, отсекаемом на ней плоскостями координат, точка $P$ была точкой пересечения медиан.

Решить задачу для произвольной $P(x_0,y_0,z_0)$, не лежащей в плоскостях координат.

-----

Будем искать уравнение плоскости $L$ в виде $Ax+By+Cz+D=0$.

Первое уравнение получим из принадлежности точки $P$ плоскости $L$: $-A+2B+3C+D=0$.

Т.к. плоскость $L$ пересекает координатные оси, то найдём векторы вершин треугольника на осях координат:

$$A |\vec{OX}| + D = 0 \implies \vec{OX}=(-\frac{D}{A},0,0)$$

$$\vec{OY}=(0,-\frac{D}{B},0)$$

$$\vec{OZ}=(0,0,-\frac{D}{C})$$

Т.к. $P$ -- пересечение медиан, то

$$\vec{OP} = \frac1{3} (\vec{OX} + \vec{OY} + \vec{OZ}) = -\frac1{3} (\frac{D}{A},\frac{D}{B},\frac{D}{C})$$

По условию $\vec{OP}=(-1,2,3)$. Откуда получаем систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -A+2B+3C+D=0 \\ -\frac1{3} \cdot \frac{D}{A} = -1 \\ -\frac1{3} \cdot \frac{D}{B} = 2 \\ -\frac1{3} \cdot \frac{D}{C} = 3 \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{rcl} B=-\frac{A}{2} \\ C=-\frac{A}{3} \\ D=3 A \\ \end{array} \right. $$

Откуда уравнение плоскости $P$ находится как

$$ \frac{x}{-1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 3 = 0 $$

-----

В случае $P(x_0,y_0,z_0)$ вычисления не поменяются, поэтому ответом будет

$$ \frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} - 3 = 0 $$

[nnosipov]

Не вижу ошибки.

[TOTAL]

Вершина в три раза дальше от основания треугольника, чем точка пересечения медиан, поэтому ось $X$ искомая плоскость пересечет при $x=3x_0$ и т.д., поэтому сразу

$$ \frac{x}{3x_0} + \frac{y}{3y_0} + \frac{z}{3z_0} = 1 $$

[svv]

Рассмотрим сначала плоскость $x+y+z=3$. Координаты сюда входят симметрично, а потому треугольник, отсекаемый на ней координатными плоскостями, равносторонний. Точкой пересечения медиан будет $(1,1,1)$.
Совершим линейное преобразование $(x,y,z)\to(k_x x, k_y y, k_z z)$. Точка $(1,1,1)$ перейдёт в $(k_x,k_y,k_z)$, а плоскость $x+y+z=3$ в $\frac x{k_x}+\frac y{k_y}+\frac z{k_z}=3$. Прямые переходят в прямые, а два равных отрезка на одной прямой — в два равных отрезка, поэтому медианы перейдут в медианы. И точка $(k_x, k_y, k_z)$ будет в новом треугольнике пересечением медиан.

[Alexander__]

TOTAL в сообщении #1540204 писал(а):

Вершина в три раза дальше от основания треугольника, чем точка пересечения медиан...[/math]

Благодарю за решение. Пожалуйста поясните откуда вот этот факт?

-- 23.11.2021, 19:29 --

svv в сообщении #1540262 писал(а):

Рассмотрим сначала плоскость $x+y+z=3$. Координаты сюда входят симметрично, а потому треугольник, отсекаемый на ней координатными плоскостями, равносторонний. Точкой пересечения медиан будет $(1,1,1)$.
Совершим линейное преобразование $(x,y,z)\to(k_x x, k_y y, k_z z)$. Точка $(1,1,1)$ перейдёт в $(k_x,k_y,k_z)$, а плоскость $x+y+z=3$ в $\frac x{k_x}+\frac y{k_y}+\frac z{k_z}=3$. Прямые переходят в прямые, а два равных отрезка на одной прямой — в два равных отрезка, поэтому медианы перейдут в медианы. И точка $(k_x, k_y, k_z)$ будет в новом треугольнике пересечением медиан.

Хорошее решение. Благодарю. Правда, требует более продвинутого мат.аппарата :)

[zykov]

Точка пересечения меридиан делит сами меридианы 2:1.