Решение системы дифференциальных уравнений

[Norma]

$$\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}= \begin{cases} -1, \;\; z<-1 \\ z,\;\;z\in [-1,1] \\ 1 ,\;\; z > 1 \end{cases} \\ \dot{z}=-x \end{cases} \end{equation*}$$

$x(0)=0$, $x(1)=0$


Если $z<-1$:

$x(t)=-t+C_1$
$z(t)=\frac{t^2}{2}-C_1t+C_2$

И если уже на этом шаге подставить краевые условия в $x(t)$, получим противоречие. Что здесь не так?

[пианист]

Norma в сообщении #1540123 писал(а):

Что здесь не так?

Полагаю, принятое допущение, $z < -1$.

Б-м. очевидно наличие годного решения $x = z = 0$, вопрос, как установить наличие/отсутствие иных решений.
Как-то с ходу что-то простое не подбирается, а с корявым интегралом от этой кусочной функции возиться не хочется.

[Norma]

А почему нельзя три случая рассмотреть отдельно?

[пианист]

(Если я правильно понял, что есть "отдельно") ниоткуда не следует, что на $(0, 1)$ значение $z$ не может попасть в более чем один интересующий промежуток.

[zykov]

Начните анализ лучше с $z \in [-1,1]$.
Очевидно, при $z>1$ будет линейный рост $x$, что в приведёт к большим $x$, а значит к отрицательной $\dot z$, что в конечном счёте загонит $z$ обратно под $1$.
Аналогично, при $z<-1$ будет линейный спад $x$, что в приведёт к большим отрицательным $x$, а значит к положительной $\dot z$, что в конечном счёте загонит $z$ обратно над $-1$.

[ИСН]

Ну нарисуйте фазовый портрет, он же тут простой и красивый. Поле концентрических окружностей, вырезанное полосой. За краями полосы - вместо окружностей будут параболы.

[zykov]

Можно с точки зрения физики взглянуть.
Одномерное движение единичной массы $v=-x$, $r=z$.
Тогда $\dot v = F(r)$, $\dot r = v$, сила $F(r)$ - линейное притяжение в $[-1,1]$ и дальше постоянная сила (по непрерывности).
Т.е. при $|r| \leq 1$ это линейный осцилятор, дальше сила будет меньше чем у линейного осцилятора.

Идея такая, что только решение $r=0$, $v=0$ удовлетворяет граничным условиям.
Если $v(0)=0$ и $r(0)\neq 0$, то время до следующего зануления $v(t)$ будет не менее $\pi$.
Для линейного осцилятора это всегда ровно $\pi$. Но тут сила меньше, так что если выйдет за $|r| \leq 1$, то время только увеличится.
(Смотри например "одномерное движение в потенциальном поле".)

$$\begin{equation*} U(r)= \begin{cases} \frac{r^2}{2},\;\;r\in [-1,1] \\ -\frac12+|r|,\;\; r\in (-\infty,-1) \bigcup (1,\infty) \end{cases} \end{equation*}$$

Уравнение движения при энергии $E_0$:

$$\frac{v^2}{2}+U(r) = E_0$$

[Norma]

zykov
Мне же нужно найти решения $x(t)$ и $y(t)$

[zykov]

Norma
y, z
И?

-- 22.11.2021, 16:19 --

Решение $x(t)=z(t)=0$ тривиально.
То что нет других, доказывается из того, что если $x(0)=0$ и $z(0) \neq 0$, то $x(1) \neq 0$.
Через интеграл движения $\frac{x^2}{2}+U(z)=\operatorname{const}$.