2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 12:21 


30/04/19
215
$$\begin{equation*}
 \begin{cases}
   \dot{x}=
 \begin{cases}
  -1, \;\; z<-1
   \\
   z,\;\;z\in [-1,1] 
   \\
    1 ,\;\; z > 1
 \end{cases}

   \\
   \dot{z}=-x

 \end{cases}
\end{equation*}$$

$x(0)=0$, $x(1)=0$


Если $z<-1$:

$x(t)=-t+C_1$
$z(t)=\frac{t^2}{2}-C_1t+C_2$

И если уже на этом шаге подставить краевые условия в $x(t)$, получим противоречие. Что здесь не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
Norma в сообщении #1540123 писал(а):
Что здесь не так?

Полагаю, принятое допущение, $z < -1$.

Б-м. очевидно наличие годного решения $x = z = 0$, вопрос, как установить наличие/отсутствие иных решений.
Как-то с ходу что-то простое не подбирается, а с корявым интегралом от этой кусочной функции возиться не хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 13:14 


30/04/19
215
А почему нельзя три случая рассмотреть отдельно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
(Если я правильно понял, что есть "отдельно") ниоткуда не следует, что на $(0, 1)$ значение $z$ не может попасть в более чем один интересующий промежуток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 13:36 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Начните анализ лучше с $z \in [-1,1]$.
Очевидно, при $z>1$ будет линейный рост $x$, что в приведёт к большим $x$, а значит к отрицательной $\dot z$, что в конечном счёте загонит $z$ обратно под $1$.
Аналогично, при $z<-1$ будет линейный спад $x$, что в приведёт к большим отрицательным $x$, а значит к положительной $\dot z$, что в конечном счёте загонит $z$ обратно над $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну нарисуйте фазовый портрет, он же тут простой и красивый. Поле концентрических окружностей, вырезанное полосой. За краями полосы - вместо окружностей будут параболы.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 15:17 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Можно с точки зрения физики взглянуть.
Одномерное движение единичной массы $v=-x$, $r=z$.
Тогда $\dot v = F(r)$, $\dot r = v$, сила $F(r)$ - линейное притяжение в $[-1,1]$ и дальше постоянная сила (по непрерывности).
Т.е. при $|r| \leq 1$ это линейный осцилятор, дальше сила будет меньше чем у линейного осцилятора.

Идея такая, что только решение $r=0$, $v=0$ удовлетворяет граничным условиям.
Если $v(0)=0$ и $r(0)\neq 0$, то время до следующего зануления $v(t)$ будет не менее $\pi$.
Для линейного осцилятора это всегда ровно $\pi$. Но тут сила меньше, так что если выйдет за $|r| \leq 1$, то время только увеличится.
(Смотри например "одномерное движение в потенциальном поле".)
$$\begin{equation*}
  U(r)=
\begin{cases}
  \frac{r^2}{2},\;\;r\in [-1,1] 
  \\
   -\frac12+|r|,\;\; r\in (-\infty,-1) \bigcup (1,\infty) 
\end{cases}
\end{equation*}$$
Уравнение движения при энергии $E_0$:
$$\frac{v^2}{2}+U(r) = E_0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 15:47 


30/04/19
215
zykov
Мне же нужно найти решения $x(t)$ и $y(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы дифференциальных уравнений
Сообщение22.11.2021, 15:59 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Norma
y, z
И?

-- 22.11.2021, 16:19 --

Решение $x(t)=z(t)=0$ тривиально.
То что нет других, доказывается из того, что если $x(0)=0$ и $z(0) \neq 0$, то $x(1) \neq 0$.
Через интеграл движения $\frac{x^2}{2}+U(z)=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group