Найти ток в ветви

[Kevsh]

Дана вот такая схема, нужно найти ток $i_3$ и $i_2$, учитывая то, что ток $i_1$ уже найден и равен $\frac{6i-8}{5}\text{ A}$, $e_1=40\sqrt2\sin{\omega t-90^{\circ}}\text{ В}, e_2=40\sqrt2 \sin{\omega t-180^{\circ}} \text{ В}, $ $e_3=80\sqrt2\sin{\omega t}\text{ В}, R=X_L=X_C=20 \text{ Ом}$. Я решил найти $\varphi_1-\varphi_2$, у меня получилось $\Delta \varphi_{12}=e_1-i_1 Z_c-e_3=-40i-\frac{(6i-8)(-i20)}{5}-80$ (переходя к действующим значениям у источников), потом я делю всё это дело на $R=20$ и у меня получается $i_3=-5,2-3,6i$, что неверно. Из-за чего может быть ошибка?

[EUgeneUS]

Если стрелки расставлены верно, включая стрелку $i_1$, и амплитуда $i_1$ ранее посчитана верно и согласовано со стрелкой, то я ошибок не нашел.

Почему Вы считаете, что получившийся $i_3$ неверный, а заданный $i_1$ верный?

[Kevsh]

EUgeneUS
Направление $i_1$ указано по условию, считал я его по методу эквивалентного генератора (про амплитуду я не очень понял). Найдём $i_2$: $i_2=\frac{\Delta \varphi_{12}-e_2}{R+Z_L}=(-40i-\frac{(6i-8)(-i20)}{5}-80+40)/(20+20i)=-3,4-0,2i$. Теперь сделаем проверку с помощью уравнения Кирхгофа: $i_1=i_2+i_3\implies -1,6+1,2i=-3,4-0,2i-5,2-3,6i$, проверка не выполняется. Более того, если посчитать токи с помощью формулы разброса, то они получаются другие и проверка проходится: $i_2=\frac{i_1 (R+Z_l)}{2R+Z_L}=-1,2+0,4i$, таким же образом ток $i_3=-0,4+0,8i$, проверяем по Кирхгофу: $-1,6+1,2i=-1,2+0,4i-0,4+0,8i$, проверка пройдена. То есть направление тока на конденсаторе по идее правильное. Как так?

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1539421 писал(а):

(про амплитуду я не очень понял)

комплексное число которое "равно" току - это и есть его комплексная амплитуда (действующее значение, раз уж в них считаете)

Если арифметика не сходится, то очевидно Вы где-то запутались.
У меня получился такой волшебный ответ:
$i_1= -4j$
$i_2 = 2j$
$i_3 = -2j$

Для $i_2$ я выбирал противоположное направление, в Ваших обозначения нужно умножить на минус единицу.
Не факт, что я где-то не запутался, :)

Скажите, Вам обязательно решать каким-то указанным методом или метод решения Вы можете выбирать сами?

[Kevsh]

EUgeneUS
Нужно найти ток $i_1$ методом эквивалентного генератора, а потом показания вольтметра и амперметра. Вообще я заметил, что ток $i_1$ был найден неправильно (удивительно, что хоть что-то сошлось), потому что я при расчёте не учитывал $e_1$ и $e_3$. Вот прямо сейчас здесь пересчитаю.
Напряжение разрыва получилось $U_p=-16+8j$, входное сопротивление получилось $R_{\text{вх}}=12+4j$, посчитаем ток: $\frac{U_p-e_1+e_3}{R_{\text{вх}}+R_H}=\frac{-16+8j+40j+80}{12+4j-20j}=4j$, сошлось (с точностью до знака). Тем же способом посчитаем остальные токи:
$i_3=(e_1-i_1 Z_c-e_3)/R=(-40j-4j\cdot (-20j)-80)/20=-8-2j$, вот тут уже проблема.
$i_2=(e_1-i_1 Z_c-e_3-e_2)/(R+Z_L)=(-40j-4j\cdot (-20j)-80+40)/(20+20j)=-4+2j$, тоже не сходится.
Такое ощущение, что напряжение между точками 1 и 2 я считаю неверно, иначе как такое вообще может быть. Забавно, что если посчитать по формуле разброса, то токи отличаются от ваших, но всё равно сходятся по Кирхгофу.

[EUgeneUS]

Решать можно любым методом, любой должен привести к правильному ответу.
Но если есть большие шансы запутаться, то лучше выбрать такой, чтобы можно было проверять "по дороге".

Я делал так.
1. Упростим схему.
а) в первой ветви (нумерация Ваша) от двух источников перейдем к одному (с учетом указанных на схеме направлений источников) $u_1 = u_{e_1} - u_{e_3}$ (используем действующие значения, а не амплитудные).
б) обозначим сопротивление в первой ветви $Z_1 = Z_C = 20 (-j)$
в) обозначим сопротивление во второй ветви $Z_2 = Z_L + R = 20 (j+1)$
г) обозначим действующее напряжение во второй ветви как $u_2 = u_{e_2}$

д) Положительное направление токов в первой и второй ветвях выберем "по направлению источника", то есть вверх.
е) Положительное направление $i_3$ выберем как угодно, пусть будет как у Вас.

2. Теперь у нас получилась схема, которая симметрична относительно перестановки ветвей номер один и два. Это означает, что и ответы (выражения для токов) должны быть симметричны относительно перестановки индексов $1 \leftrightarrow 2$. Получили мощный инструмент для самопроверки.

3. Далее можем уменьшить все напряжение в 20 раз, и все сопротивление тоже уменьшить в 20 раз. При этом токи будут теми же. Корень из двух, как бы намекает, что нужно использовать действующие величины, а не комплексные амплитудные.

Тогда значения будут такими:

$\tilde{R} = \frac{1}{20} R = 1$
$\tilde{Z_1} = \frac{1}{20} Z_C = -j$
$\tilde{Z_2} = \frac{1}{20} (Z_L + R) = 1+j$
$\tilde{u_1} = \frac{1}{20} (u_{e_1} - u_{e_1}) = -2 (2+j)$
$\tilde{u_2} = \frac{1}{20} (u_{e_2}) = -2$

Это будем подставлять для окончательного результата "в числах".

4. Уравнения Кирхгофа выбираем так:
(1) сумма токов $i_3 = i_1+ i_2$
(2) и (3) - второе правило Киргхофа для контуров: из третьей и первой ветвей, из третьей и второй ветвей.
Это сохранит симметрию в уравнениях. За одно проверим, правильно ли их записали.

5. Решаем СЛАУ, убеждаемся, что симметрия сохраняется.

6. Дополнительные проверки (считаем как для постоянного тока и активных сопротивлений)
а) если напряжения оба положительны, то $i_3$ обязан быть положителен.
б) если напряжения оба положительны и равны, то $i_1$ и $i_1$ обязаны быть положительны
в) если $Z_1 = 0$, $Z_2 > 0$, то $i_3 = u_1/R$
г) если $Z_2 = 0$, $Z_1 > 0$, то $i_3 = u_2/R$

7. Если проверки проходят, то подставляем значения из пункта 3.

-- 16.11.2021, 17:31 --

Kevsh в сообщении #1539455 писал(а):

Нужно найти ток $i_1$ методом эквивалентного генератора, а потом показания вольтметра и амперметра.

Я бы Вам все таки предложил
а) упростить схему, как описано выше
б) найти $i_1$, $i_2$, $i_3$ "в буквах". Пусть и найдете $i_1$ методом эквивалентного генератора.
в) проверить выражения на симметрию по замене индексов и на крайние случаи (как описано выше)
г) и только потом подставлять значения.

-- 16.11.2021, 17:45 --

Kevsh в сообщении #1539455 писал(а):

а потом показания вольтметра

Если воспользуетесь советом (что совсем не обязательно) уменьшить сопротивления/импедансы и напряжения в $20$ раз, то при нахождении показаний вольтметра не забудьте обратно умножить на $20$. Так как уменьшаются все напряжения (и все сопротивления/импедансы).

-- 16.11.2021, 18:03 --

И ещё.
Симметрию можно использовать не для проверки, а для нахождения ответа:
Если Вы получили выражения для $i_1$ в виде $i_1 = f(\tilde{u_1}, \tilde{u_2}, \tilde{Z_1}, \tilde{Z_2}, R)$
то перестановкой индексов сразу получаем выражение для $i_2$: $i_2 = f(\tilde{u_2}, \tilde{u_1}, \tilde{Z_2}, \tilde{Z_1}, R)$
$i_3 = i_1+i_2$

Мощь

А провериться можно на крайних случаях:
1. $Z_1 > 0, Z_2=0, \tilde{u_1} > 0, \tilde{u_2} > 0$
2. $Z_2 > 0, Z_1=0, \tilde{u_2} > 0, \tilde{u_1} > 0$
3. $Z_1 \to \infty, Z_2 \geqslant 0, \tilde{u_1} > 0, \tilde{u_2} > 0$
4. $Z_2 \to \infty, Z_1 \geqslant 0, \tilde{u_2} > 0, \tilde{u_1} > 0$