2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Найти решение
$$a_n=5a_{n-1}+(-1)^n\cdot a_{n-2}, a_0=0, a_1=1$$

Попробовал через производящие функции, получил функциональное уравнение:
$$f(x)(2-5x-x^2)=x+f(-x)$$
Последнее тоже неясно как решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
А почему нелинейное? Линейное, с непостоянными коэффициентами только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Хорошо, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:53 


20/04/10
1776
Это линейная рекурсия с постоянным коэффициентами четвёртого порядка.$$a_n=25a_{n-2}+a_{n-4}$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:09 


18/09/21
1676
Там ошибки в условии нет?
Посчитал, вышло большое выражение.

-- 13.11.2021, 21:11 --

$$\begin{pmatrix}a_{2k+1} \\ a_{2k} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\frac{{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, \left( 13892 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-348466\right) \, {{\left( -1\right) }^{k}}+{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\, \left( 575 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-15725\right) }{\left( 23 \cdot {{17}^{\frac{3}{2}}}\, {{37}^{\frac{3}{2}}}-364191\right) \, {{2}^{k}}}\\
-\frac{\sqrt{629-23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}}\, \sqrt{23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}+629}\, {{2}^{-k-1}}\, \left( {{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, {{\left( -1\right) }^{k}}-{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\right) }{629}\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Запишем в матричном виде:
$$
\begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}a_3\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$
Ну и понятно, что
$$
\begin{pmatrix}a_{2k+1}\\a_{2k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}^k\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$

Таким способом можно решать линейные рекуррентности с периодическими коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
lel0lel. Да, действительно так. Надо было только со знаками поиграться:

Если
$$a_n-5a_{n-1}=-a_{n-2}$$
то
$$5a_{n-1}-25a_{n-2}=5a_{n-3}$$
$$a_{n-2}-5a_{n-3}=-a_{n-4}$$,
Складываем (1) и (2) и $5a_{n-3}$ выражаем из третьего: $a_n-25a_{n-2}=-a_{n-2}+a_{n+4}+a_{n-2}$
Если поменять знаки, то все равно получается тоже самое.

Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 22:47 


20/04/10
1776
Padawan
Хороший способ, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
В функциональном уравнении, которое я написал выше, ошибка.

Должно быть:
$$f(x)(1-5x)=x+x^2f(-x)$$
а также
$$f(-x)(1+5x)=-x+x^2f(x)\Rightarrow f(-x)=\frac{-x+x^2f(x)}{1+5x}$$
подставляя последнее в первое, получаем функцию:
$$f(x)=\frac{x+5x^2-x^3}{1-25x^2-x^4}$$
Она же является производящей для рекуррентного соотношения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group