Оценка мат. ожидания

[Otta]

Изначально, в силу собственного несварения формулировки, я эту задачу переформулировала до того вида, в котором можно было бы решать:
построить оценку параметра $\mu$ в смысле BLUE, т.е. в классе несмещенных линейных оценок, выбрав среди них наилучшую.
Но непохоже, что автор всего этого хотел.
К тому же, при оценке дисперсии еще и слово "линейных" придется выбрасывать.

А с состоятельностью тут полный пролет, разве что положить $100=n$ и $10=m$ и отпустить их в бесконечность.

[artempalkin]

Максимальным правдоподобием параметры вполне хорошо оцениваются. Конечно, я не глубоко понимаю теорию, но вроде бы использование этого метода в данном случае вполне корректно.

А вот насчет "состоятельности" полная ерунда. К какому значению должны сходиться по вероятности полученные параметры? Нет ни малейшей идеи.

[мат-ламер]

artempalkin
Может авторов и название вашего задачника приведёте?

artempalkin в сообщении #1538887 писал(а):

А вот насчет "состоятельности" полная ерунда

В смысле

artempalkin в сообщении #1538887 писал(а):

Нет ни малейшей идеи.

?

artempalkin в сообщении #1538887 писал(а):

К какому значению должны сходиться по вероятности полученные параметры?

Должны сходиться оценки к оцениваемым параметрам. Тут либо сослаться на глобальную теорему о свойстве ММП. Либо в лоб подсчитать матожидание и дисперсию оценки. Тут работы больше. Но может быть она принесёт вам пользу.

[Александрович]

Пусть $\hat{\mu}_X$ оценка $\mu$ по выборке $X$, а $\hat{\mu}_Y$ оценка по выборке $Y$. Тогда оценка $\mu$ по обеим выборкам будет:

$\hat{\mu}=\frac{100\hat{\mu}_X+10\hat{\mu}_Y} {110}$

[zykov]

Александрович в сообщении #1538944 писал(а):

Тогда оценка $\mu$ по обеим выборкам будет:

$\hat{\mu}=\frac{100\hat{\mu}_X+10\hat{\mu}_Y} {110}$

Там должно быть $\hat{\mu}=\frac{100\hat{\mu}_X+5\hat{\mu}_Y} {105}$, т.к. для Y сигма меньше.

[Александрович]

zykov в сообщении #1538945 писал(а):

для Y сигма меньше

Да, действительно.

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1538897 писал(а):

Должны сходиться оценки к оцениваемым параметрам. Тут либо сослаться на глобальную теорему о свойстве ММП.

Выше уже написали, что в пункте о состоятельности постановка задачи некорректна. Не надо никуда ссылаться. По выборке фиксированного объема состоятельность проверять? При $10\to\infty$?
Расскажете потом, как это.

[Александрович]

Об оценке $\sigma^2$. Пусть $\hat{\sigma^2}_X$ оценка $\sigma^2$ по выборке $X$, а $\hat{\sigma^2}_Y$ оценка по выборке $Y$. Тогда оценка $\sigma^2$ по обеим выборкам будет:

$\hat{\sigma^2}=\frac{99\hat{\sigma^2}_X+9\hat{\sigma^2}_Y} {108}$[/quote]

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1538950 писал(а):

Выше уже написали, что в пункте о состоятельности постановка задачи некорректна. Не надо никуда ссылаться. По выборке фиксированного объема состоятельность проверять? При $10\to\infty$?
Расскажете потом, как это.

Тут всё зависит от того, какую цель вы преследуете. Если вы хотите доказать своему преподавателю, что он глубоко неправ вместе с автором задачника, то это одно. Если вы хотите набраться опыта при решении практических задач, который пригодится в дальнейшем, то это другое. В первом случае вы рискуете остаться в дураках, поскольку не исключён вариант, что преподаватель откроет начало главы задачника и укажет - "Вот же ясно написано, что всюду, где речь идёт о состоятельности оценок, речь идёт о том, объём выборок стремится к бесконечности". Можно, конечно, упираться и дальше и сказать, что ведь у нас тут две выборки, а не одна. На что преподаватель может ответить, а что, разве не может объём каждой выборки стремиться к бесконечности?
Во втором случае можно слегка домыслить условие и предположить, что у нас даны две выборки. Первая размером $n$ и вторая размером $m$ . И что как $n$ так и $m$ независимо стремятся к бесконечности. Для того, чтобы применить глобальную теорему о состоятельности ММП, можно пойти ещё дальше, и считать что у нас одна выборка - $x_i$, а дисперсии $x_i$ могут отличаться в два раза.
Считаю, что задача правильная и близка к практическим приложениям. Предположим, что выпускник устроился на работу к астрономам. А они говорят, вот у нас есть две выборки. Это наблюдения над одним и тем же астероидом. Одна получена одним телескопом. Вторая получена другим телескопом. Мы знаем, что второй телескоп менее точен, чем первый и дисперсия у него в два раза больше. Построй нам оценку по этим выборкам и мы хотим, чтобы эта оценка была состоятельной. Можно, конечно, тут упереться и сказать:

Otta в сообщении #1538948 писал(а):

Выборка - набор случайных величин. ОМП - статистика. Ничего ниоткуда вылезти не может, конкретных значений нет, это не работа с реализацией.

"Что вы мне подсовываете? Нас учили, что выборка, это набор случайных величин, а вы мне какие-то числа подсовываете? И почему у вас какое-то конкретное число наблюдений, нас учили. что оно должно быть равно $n$ ? И какой вообще разговор может идти о состоятельности, если у вас конкретное конечное число наблюдений?" И это не юмор. Тут рядом в другой теме большинство студентов на вопрос, какова может быть степень неприводимого многочлена над полем действительных чисел, отвечают, что она равна $n$ . И они глубоко правы, поскольку именно такая степень присутствует в их конспектах. Найдёт ли такой выпускник общий язык с астрономами, вопрос спорный.

[Otta]

мат-ламер
ТС не студент. Я тоже только что с лекции. Не надо вот этого всего.

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1538957 писал(а):

ТС не студент. Я тоже только что с лекции. Не надо вот этого всего.

Понял. Однако я не знаю и не задумывался, кто тут кто есть. Приношу извинения.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1538956 писал(а):

Вот же ясно написано, что всюду, где речь идёт о состоятельности оценок, речь идёт о том, объём выборок стремится к бесконечности

А в условии задачи черным по белому написано, что объемы выборок $100$ и $10$. И я уверен, что в задачнике не написано, что значит "$10$ стремится к бесконечности".
Задачу можно было бы считать сколь-нибудь адекватной, если бы вместо $100$ и $10$ было бы написано $n$ и $m$.

мат-ламер в сообщении #1538956 писал(а):

И почему у вас какое-то конкретное число наблюдений, нас учили. что оно должно быть равно $n$ ?

Это вопрос к авторам задачника.

[Александрович]

Александрович в сообщении #1538952 писал(а):

Об оценке $\sigma^2$. Пусть $\hat{\sigma^2}_X$ оценка $\sigma^2$ по выборке $X$, а $\hat{\sigma^2}_Y$ оценка по выборке $Y$. Тогда оценка $\sigma^2$ по обеим выборкам будет:

$\hat{\sigma^2}=\frac{99\hat{\sigma^2}_X+9\hat{\sigma^2}_Y} {108}$

Немного подумав. Мы же уже нашли оценку $\mu$ для обеих выборок. Тогда $\hat{\sigma^2}=\frac{100\sum\limits_{i=1}^{i=100}(x_i-\hat{\mu})^2+5\sum\limits_{i=1}^{i=10}(y_i-\hat{\mu})^2}{109}$

[--mS--]

Не очень понимаю, что обсуждается. ММП-оценки по данной (да, неоднородной - а что, выборка всегда набор i.i.d.r.v.?) элементарно находятся, они суть

$$ \widehat\mu = \dfrac{n}{n+m}\overline X + \dfrac{m}{n+m}\overline Y, $$

$$ \widehat\sigma^2 = \dfrac{1}{n+m}\left(\sum(X_i-\widehat \mu)^2 + \dfrac12 \sum(Y_i-\widehat \mu)^2\right), $$

вопрос о состоятельности понимается наверняка так, как писал

мат-ламер в сообщении #1538956 писал(а):

поскольку не исключён вариант, что преподаватель откроет начало главы задачника и укажет - "Вот же ясно написано, что всюду, где речь идёт о состоятельности оценок, речь идёт о том, объём выборок стремится к бесконечности".

Вопрос о построении доверительного интервала вообще никак не связан с объёмами подвыборок и является содержательным, какими бы ни были $n$ и $m$.

[Otta]

Вот у меня, например, вся собака тут зарылась:

--mS-- в сообщении #1539006 писал(а):

а что, выборка всегда набор i.i.d.r.v.?

А да вот, обычно да. А где посмотреть (глазками) про альтернативы? Книжку посоветуйте, пожалуйста.