Вытекание воды из дырявых кастрюль

[ivanovich]

Добрый день. Помогите разобраться с решением данной задачи.

У меня есть две абсолютно одинаковые кастрюли с круглыми донышками. В каждом донышке просверлено одинаковое число абсолютно одинаковых отверстий. Только в первой кастрюле все отверстия достаточно далеко отстоят друг от друга, а во второй, наоборот, образуют одну плотную группу. (Достаточно далеко - значит, что расстояния между отверстиями намного больше диаметра отверстий. Плотная группа, наоборот, означает, что расстояния между отверстиями в несколько раз меньше диаметра отверстий.)



Теперь я наливаю в обе кастрюли одинаковый объем воды.

Вопрос 1. Эта вода вытечет из обеих кастрюль за одинаковое время или нет?

Вопрос 2. Если время будет разным, значит на скорость вытекания воды влияет расположения отверстий. Тогда каким физическим законом описывается эта зависимость?

Мне кажется, что я когда-то читал о том, что если группа отверстий расположена близко друг к другу, то их можно считать одним большим отверстием. Но я не могу ничего найти об этом законе.

Может кто-то помочь решить эту задачу?

[lel0lel]

Если отверстия рядом, то суммарное вязкое трение будет меньше, так как соседние слои также находятся в движении. Относительно неподвижен только периметр всего семейства. А если отверстия далеко, то периметр каждого отверстия испытывает трение. В общем, чем-то напоминает формулу Пуазёйля.

[ivanovich]

Так и из какой кастрюли вода будет вытекать быстрее: где отверстия далеко или где все рядом?

[lel0lel]

А Вы подумайте самостоятельно. Или всё же возьмите да испортите две пластиковые или консервные банки) Зато будет весело.

Вот ещё подумайте над таким вопросом: через какую систему будет проходить больший объём жидкости при условии, что перепад давления одинаков -- через $N$ параллельных труб радиуса $r$ или одну трубу радиуса $\sqrt{N}r$?

[ivanovich]

Подумал. Где вместе будет быстрее.

А теперь в общем: есть ли какой-то пороговый критерий, который разделяет эти два случая?

Попробую более точно сформулировать. Как найти критическое значение расстояния между отверстиями, такое, что если расстояния между отверстиями меньше данного критического, то мы их можем спокойно заменить на одно большое? И наоборот. Как это критическое расстояние будет связано с диаметром отверстий? И вообще, что почитать по этому поводу - может статья какая-то хорошая есть?

Решение важно для практических целей, не связанных с кастрюлями. Кастрюли просто удобный аналог.

-- 12.11.2021, 23:25 --

Упс. Вторую часть вашего ответа и не замеил.

Я вообще-то в гидродинамике плохо разбираюсь. Потому посоветуйте что-то почитать (простое), чтобы понять, как ответить на ваш вопрос.

[lel0lel]

ivanovich в сообщении #1538910 писал(а):

Как найти критическое значение расстояния между отверстиями, такое, что если расстояния между отверстиями меньше данного критического, то мы их можем спокойно заменить на одно большое? И наоборот. Как это критическое расстояние будет связано с диаметром отверстий?

Это довольно сложный вопрос, который зависит от вязких свойств жидкости, а также от величины давления, то есть скорости вытекания отдельных струй, от диаметра самих отверстий. К тому же переход от состояния "как будто одно отверстие" к состоянию "много отдельных отверстий" будет достаточно плавным, то есть точной границы указать нельзя. Если бы это было нужно для решения конкретной технической задачи (изготовление леек), то проще всего ответ получить экспериментально. Если же обязательно теоретическое решение, то без дифференциальных уравнений с граничными условиями не обойтись.

Может литературу посоветуют другие участники. Я пока приведу ссылку на Википедию Формула Пуазёйля

[sergey zhukov]

ivanovich
Есть похожая задача - гидравлическое сопротивление перфорированных решеток. Например, вот это: https://cyberleninka.ru/article/n/gidravlicheskoe-soprotivlenie-perforirovannyh-reshetok/viewer
Здесь, правда, рассматривается довольно узкий диапазон расстояний между отверстиями, который вряд ли простирается до области, где отверстия перестают влиять друг не друга.

Формула Пуазейля хороша для расчета ламинарных потоков в трубах без учета сопротивления входа и выхода. Это самое первое приближение: N параллельных труб площадью S каждая против одной трубы площадью NS.

Следующее по точности приближение такое: N дроссельных шайб сечением S против одной дроссельной шайбы сечением NS. Расчет сопротивления дроссельной шайбы стандартный.

Следующее: N дроссельных шайб сечением S против одной дроссельной шайбы с решетчатым отверстием общим сечением ячеек NS.

И последнее: решетка из N отверстий сечением S против дроссельной шайбы с решетчатым отверстием общим сечением ячеек NS.

Я тоже думаю, что во всех случаях во втором варианте сопротивление будет меньше.

[ivanovich]

Закон Пуазейля имеет какие-то ограничения по масштабу?

Например, если отверстия имеют диаметр порядка нескольких сотен нанометров, то принципы Пуазейля будут для них все так же справедливы или здесь нужна уже какая-то другая гидродинамика?

[sergey zhukov]

ivanovich
Не знаю, если честно. По моему, все должно работать. Разве что вязкость жидкости на таких масштабах может оказаться несколько другой. Или же могут проявиться другие реологические свойства жидкости (отклонения от ньютоновой жидкости). Может, поверхностное натяжение как-то неожиданно проявится.

Это что у вас? Какие-то фильтры для микробов?

[lel0lel]

Конечно, свои ограничения формула имеет. Она получена для ламинарного течения, при условии, что длина трубы много больше участка, на котором создаётся параболический профиль скоростей. Вообще, уже в этом смысле это не совсем наш случай, у нас длина отверстий маленькая. Поэтому формулу можно использовать только для первичного качественного анализа задачи. На микро уровне будут играть роль и другие капиллярные эффекты. Можно сделать столь маленькие отверстия, что просачивание воды будет похоже на диффузию и ни о каком профиле скоростей говорить не придётся. Стало быть и формула будет непричём.