2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 
Сообщение05.10.2008, 13:16 
e7e5 писал(а):
$R=$$(1+y')^{3/2}$/$y''$.

$y'$ в квадрате, а я в отпуске...

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 15:53 
Алексей К. писал(а):
$y'$ в квадрате, а я в отпуске...

Подправил, см пост выше - с квадратом считал ранее - все равно не сходится...

 
 
 
 
Сообщение09.10.2008, 23:35 
Дык Ваши выкладки давно пора в студию запузырить...

 
 
 
 
Сообщение22.10.2008, 21:22 
Выкладки такие
Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - кривизна
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$

$R=$$(1+y'^2)^{3/2}$/$y''$ .
Т.е.$(1+y'^2)^{1/2}=$x/2b$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$
Также в принятых обозначениях $C=$$1/2b$
$S=$$x^2/4b$
$x^2=$$4bs$
$R=$$b(x/2b)^3$$\sqrt{x^2-4b^2}$/$x$
$R=$$S/2b$*$\sqrt{4bs-4b^2}$ ,
$R=$$\frac {s} {\sqrt b}$$\sqrt{s-b}$
k(s)=1/R эквивалентно $d \tau /ds$ - отсюда
$$\tau (s)=\int\limits_b^s \frac { \sqrt b ds} {s(s-b)^{1/2}},$$ - вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка".

 
 
 
 
Сообщение22.10.2008, 21:52 
e7e5 в сообщении #152640 писал(а):
вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка".
Слишком долго писал ответ в той теме. Пока упокаиваюсь.

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

e7e5 писал(а):
Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - кривизна
Невыносимое нарушение привычных обозначенией. R --- радиус (радиус кривизны, радиус окружности, радиус сходимости ряда, радиус сферы).

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 08:29 
e7e5 писал(а):
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$

Неверно вычислено $y''$.
(Не представляю, как компилируется Ваша запись для $y''$. Внутри формулы доллары не нужны).
Код:
Вместо $y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$  достаточно   $y''=x/b(x^2-4b)^{1/2}$
                                     А надо бы    $y''=x/ [ b(x^2-4b)^{1/2} ] $
+ исправить ошибку.
Ну и дроби Вы вроде умеете писать.

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 21:18 
Алексей К. писал(а):
e7e5 писал(а):
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$

Неверно вычислено $y''$.

Проверил еще раз, похоже двойки не вписал?
Получилось так:
$y''= \frac {x} {2b*(x^2-4b^2)^{1/2}}$

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 21:27 
Да.

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 21:41 
Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - РАДИУС кривизны
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$

$R=$$(1+y'^2)^{3/2}$/$y''$ .
Т.е.$(1+y'^2)^{1/2}=$x/2b$

$s=x^2/4b$
$x^2=4bs$
$R=2b(x/2b)^3 \frac {\sqrt{x^2-4b^2}} {x}$
$R=2s/2b* \sqrt{4bs-4b^2}$ ,

$R=\frac {2s} {\sqrt b} \sqrt{s-b}$
k(s)=1/R эквивалентно $d \tau /ds$ - отсюда
$$\tau (s)=\int\limits_b^s \frac { \sqrt b ds} {2s(s-b)^{1/2}},$$ - вроде такой же как в теме "Табличный интеграл и подстановка" Правильно?

 
 
 
 
Сообщение23.10.2008, 22:15 
Сходил, посмотрел, сравнил, --- вроде такой же. Постоянным множителем отличается.
e7e5 в сообщении #150522 писал(а):
Вычислить:
$\int \frac {dx} {x(x-b)^{1/2}}$ , $b$>$0$

 
 
 
 
Сообщение24.10.2008, 17:37 
Алексей К. писал(а):
Сходил, посмотрел, сравнил, --- вроде такой же. Постоянным множителем отличается.
e7e5 в сообщении #150522 писал(а):
Вычислить:
$\int \frac {dx} {x(x-b)^{1/2}}$ , $b$>$0$


Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Добавлено спустя 8 минут 52 секунды:

Т.е именно;
Cos \tau= \sqrt \frac {b} {s+b}
Sin \tau= \sqrt \frac {s} {s+b}

Чтобы они получились? Начинать отсчёт длины дуги с нуля?

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 01:06 
e7e5 в сообщении #153071 писал(а):
Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?
Для начала --- поменять цель. "Получить как у меня формулы" вроде как мелочь (тем более, что я их написал с первого раза и, как часто стало случалось, мог наошибаться).
У Вас придумалась кривая. Henrylee перевёл её в дифф. уравнение. Не помню, кто привёл решение. В принципе --- достаточно: есть параметрическое (или даже явное, $y(x)\,$), уравнение.
Мне потом захотелось увидеть натуральное уравнение. (Это моя личная особенность, или каждый захотел бы этого?) Вот, эллипс, например, --- в каждой дырке затычка (ну, во многих дырках), а натуральное уравнение никому наф. не нужно. А я у всех кривых, которые мне на пути встречались, испрашивал натуральное уравнение.

e7e5 писал(а):
Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Надо повторить выкладки, сделанные пару постов назад, с учётом найденных ошибок, и без создания новых. Обострённый интерес к $\cos\tau,\:\sin\tau$ ничем не оправдан --- это какие-то промежуточные результаты, в финале неинтересные.
Я считаю, что $k(s)$ --- "более натуральное" уравнение, чем $\tau(s)$, хотя сей термин применяют к обоим: $k(s)$, в отличие от $\tau(s)$, совсем не зависит от преобразований координат (движений). А в большинстве (известных мне) старых книг --- я имею в виду давность 100-150 лет --- работают с $\tau(s)$ или $s(\tau)$,

Добавлено спустя 7 минут 48 секунд:

$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\to k(s).$$

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 10:07 
Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):
Как же теперь логический переход дальше выполнить, чтобы получить как у вас формулы?

Надо повторить выкладки, сделанные пару постов назад, с учётом найденных ошибок, и без создания новых. Обострённый интерес к $\cos\tau,\:\sin\tau$ ничем не оправдан --- это какие-то промежуточные результаты, в финале неинтересные.
Я считаю, что $k(s)$ --- "более натуральное" уравнение, чем $\tau(s)$, хотя сей термин применяют к обоим: $k(s)$, в отличие от $\tau(s)$, совсем не зависит от преобразований координат (движений). А в большинстве (известных мне) старых книг --- я имею в виду давность 100-150 лет --- работают с $\tau(s)$ или $s(\tau)$,

Повторил и неоднократно, все равно получается
$R=\frac {2 \sigma} {\sqrt b} \sqrt{\sigma-b}$


Если теперь начинать отсчет от начала кривой, сделав замену $s=\sigma-b$ и
k(s)=1/R. то
$k(s)=\dfrac{1}{2(s+b)}\sqrt{\dfrac{b}{s}}.$ - наутральное уравнение, как у Вас получилось.

Вы так считали? или как то по другому?

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 12:19 
Я не помню, конечно, но скорее всего естественным путём, предложенным выше:
$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\stackrel{\mbox{\tiny исключая $x$}}\to k(s).$$

 
 
 
 
Сообщение29.10.2008, 10:06 
Алексей К. писал(а):
$$y(x)\to\left\{\begin{array}{l}s(x)\\k(x)\end{array}\right.\stackrel{\mbox{\tiny исключая $x$}}\to k(s).$$


Мое понимание такое, что именно так и решал.
Правда, $y(x)$ как функция в явном виде не присутствовала....
Нашел $s(x)$
Henrylee писал(а):
Навскидку "вульгарно" в голову приходит следующее
$ds=C x\,dx$


зетем $k(x)$ на основе $y'(x)$ , исключил $x$, получил $k(s)$

Вы можете дать задачку на какую-нибудь "простую" кривую с ответом, чтобы себя смог проверить?

Также подскажите пожлуйста, как у Вас получилось?
Алексей К. писал(а):
Параметризация:
$x(t)=2b\ch t,\quad y(t)=\dfrac{b}{2}\sh(2t)-bt \quad\left(\sh t=\sqrt{\dfrac{s}{b}}\right)$.
Явное уравнение --- табличный интергал.

 
 
 [ Сообщений: 101 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group