Оценка мат. ожидания

[artempalkin]

Привожу задачу на языке оригинала

You are given two random samples, $X_1,\ \cdots \ ,\ X_{100}\sim N(\mu,\sigma^2)$ and $Y_1,\ \cdots\ ,\ Y_{10}\sim N(\mu,2\sigma^2)$ that are independent from each other, but their distributions have common parameters
$\mu$ and $\sigma^2$.

(a) Construct estimators for these two parameters.

Не знаю точно, как перевести вопрос задачи, но в общем нужно составить формулу для оценки параметров этих распределений. И вот тут не совсем я понимаю. У этих двух распределений общие параметры, как тогда их оценивать? Конечно, можно было бы придумать новую случайную величину типа $Z=X+Y$ и оценить ее параметр, либо "смесь" случайных величин типа $Z=\theta X +(1-\theta)Y$. Может быть, есть какая-то устоявшаяся формула для этого случая? В особенности смущает, что в первая выборка гораздо объемнее, это же как-то должно влиять?

[мат-ламер]

А если просто тупо в лоб расписать функцию правдоподобия и найти её максимум?
Метод максимального правдоподобия .
Должен получиться метод наименьших квадратов с весами.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1538775 писал(а):

А если просто тупо в лоб расписать функцию правдоподобия и найти её максимум?

Можно функцию правдоподобия одной выборки умножить на функцию правдоподобия второй выборки. А можно слить обе выборки в одну, что одно и то же.

[Otta]

artempalkin
Контекст полностью можно? Построить оценку параметра можно ведь чуть ли не любым способом, оценок много. Обычно вопрос в том, чего от них хотеть.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1538801 писал(а):

artempalkin
Контекст полностью можно? Построить оценку параметра можно ведь чуть ли не любым способом, оценок много. Обычно вопрос в том, чего от них хотеть.

Больше нет никакого контекста... есть еще два вопроса:
(b) Is your estimator for $\mu$ consistent? Provide a brief argument.
(c) Propose a confidence interval for $\mu$ with the confidence level $1-\alpha$

[alisa-lebovski]

Я бы взяла обычные оценки среднего и дисперсии по каждой выборке, и потом их линейные комбинации с наименьшей дисперсией.

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1538775 писал(а):

А если просто тупо в лоб расписать функцию правдоподобия и найти её максимум?
Метод максимального правдоподобия
.
Должен получиться метод наименьших квадратов с весами.

Да, мне кажется, это вполне себе идейно! Тогда объем выборки сыграет роль.

Только вот думаю, а как в таком случае определять, будут ли оценки согласованными? по идее, раз у нас нормальные распределения, согласованность будет, но их все же два

[mihaild]

(consistent estimator переводится как "состоятельная оценка", не согласованная)
Не очень понятно, что значит "состоятельность" применительно к данному случаю, когда у нас две выборки, причем конечного фиксированного размера.

[Otta]

mihaild в сообщении #1538832 писал(а):

две выборки, причем конечного фиксированного размера.

Речи про доверительный интервал непонятны по той же причине. Точно он определяется в одном единственном случае: если выборка из нормального распределения. А здесь она мало того, что не из нормального, она вообще не выборка.

Подгонять под желаемое можно, конечно, если это задачник для гуманитариев. Что вряд ли. Не в обиду гуманитариям. Мне, скорее, интересен источник. Слишком много некорректностей на одну задачу.

А первые две - ну напишите произвольную. Сумма первых двух иксов пополам, например. Чем не оценка матожидания?
Несостоятельная в любом случае.

А лучше задачник смените

[mihaild]

Otta в сообщении #1538834 писал(а):

Речи про доверительный интервал непонятны по той же причине

А тут в чем проблема? Вроде бы если закрыть глаза на то, что у нас не выборка. то всё просто и понятно: надо придумать пару функций $l$ и $r$ от 110 аргументов каждая.

[Otta]

Реализация подкачает.

[mihaild]

Почему? Никто не запрещает при построении доверительного интервала просто проигнорировать $Y$ (да и половину иксов), это же не ОМП.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1538832 писал(а):

Не очень понятно, что значит "состоятельность" применительно к данному случаю, когда у нас две выборки, причем конечного фиксированного размера.

Конечный размер обеих выборок может независимо стремиться к бесконечности.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1538840 писал(а):

Конечный размер обеих выборок может независимо стремиться к бесконечности.

Но нас просят выписать оценку для выборок размера $100$ и $10$, а не для произвольного.

Физики продолжают шутить писал(а):

Поясните асимптотическое поведение решения при $12 \to \infty$.

[Otta]

mihaild в сообщении #1538839 писал(а):

Почему? Никто не запрещает при построении доверительного интервала просто проигнорировать $Y$ (да и половину иксов), это же не ОМП.

А, ну в принципе, да. Это меня с самого начала пыльным мешком выборкой, которая не выборка, по голове стукнуло. А потом добило асимптотической нормальностью при $12\to \infty$.
Дурная задача.