Вывод преобразований Лоренца

[xagiwo]

Подскажите, пожалуйста, книгу (а лучше несколько) с внятным выводом преобразований Лоренца из постулатов Эйнштейна.

[Pphantom]

xagiwo в сообщении #1538429 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, книгу (а лучше несколько) с внятным выводом преобразований Лоренца из постулатов Эйнштейна.

Ну вообще-то примерно каждый первый курс общей физики. Берклеевский курс, например (том 1, естественно, "Механика"). Или хочется чего-нибудь особенного?

[sergey zhukov]

xagiwo
Вот такой "вывод" можно запомнить. Он, конечно, не строгий, но зато очень простой и наглядный (здесь мы сразу принимаем $c=1$):

Имеем преобразования Галилея:

$$x_2=x_1+ut_1$$

$$t_2=t_1$$

Эти преобразования не симметричны: $t$ преобразуется не так, как $x$. Сделаем их симметричными, т.е. подправим второе уравнение до симметрии с первым:

$$x_2=x_1+ut_1$$

$$t_2=t_1+ux_1$$

(Фактически тут у нас используется второй постулат СТО: оси координат $x$ и $t$ должны быть всегда симметричны относительно диагонали, что выражает постоянство скорости света)

Теперь потребуем, чтобы если решить эту систему относительно $x_1$ и $t_1$, то получилась бы та же самая система (только $u$ была бы с минусом). Это как раз из первого постулата СТО. Иными словами, мы должны получить такие преобразования, чтобы если просто заменить все индексы 1 на индексы 2 и наоборот (и заменить $u$ на $-u$), то получилось бы то же самое, что и при решении системы относительно $x_1$ и $t_1$.

Это требование и к преобразованиям Галилея относится (легко видеть, что преобразования Галилея ему подчиняются).

Нетрудно найти, что для того, чтобы подправленные преобразования обладали таким свойством, нужно домножить обе правые части на фактор Лоренца $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

[xagiwo]

Pphantom в сообщении #1538430 писал(а):

Берклеевский курс, например (том 1, естественно, "Механика").

Спасибо. Я не понимаю, почему преобразования должны быть линейны и почему вообще мы можем выбрать новую СО так, что новые оси параллельны старым (а вдруг в новой СО то, что в старой СО было прямыми – вообще не прямые?)

sergey zhukov в сообщении #1538431 писал(а):

оси координат $x$ и $t$ должны быть всегда симметричны относительно диагонали

Что значит "симметричны"?

[KregSeptim]

xagiwo
Тут, конечно, выше насоветовали не совсем корректно. Дело в том, что из постулатов Эйнштейна следует нечто большее, чем преобразования Лоренца. А именно, из второго постулата следует так называемая группа каузальных автоморфизмов, а первый срезает преобразования дилатации, и в итоге у нас на руках однородная группа Пуанкаре, которая шире бустов. Однако любой её элемент может быть представлен как композиция поворота и затем 'буста' (кавычки потому что от обычного буста это преобразование отличается возможной инверсией времени), если забыть про физически незначимую 4-трансляцию.

Разобраться что там происходит на нормальном языке (а не рукомахательном как в курсах общей физики или ЛЛ) можно по книжке Naber The Geometry of Minkowski Spacetime и по статье Cauzality implies the Lorentz Group за авторством Zeeman'а.

-- 10.11.2021, 20:03 --

xagiwo в сообщении #1538524 писал(а):

Я не понимаю, почему преобразования должны быть линейны

Потому что они должны переводить прямую мировую линию в прямую (что означает отсутствие ускорения у ИСО). Такие преобразования с необходимостью аффинные, если наложить требование гладкости. Затем убирая часть с трансляцией, получаем линейные преобразования.

[zykov]

Если уж про математику/геометрию, то прямую в прямую не только аффинные переводят, но и проективные.

[KregSeptim]

Да, конечно, нужно ещё добавить требование сохранения светового конуса (2 постулат)

[мат-ламер]

Поскольку в предыдущих трёх постах ничего не понял, ибо не физик, то рискну предложить простую обывательскую точку зрения. Для двоих наблюдателей существует одно и то же четырёхмерное псевдоевклидово пространство-время Минковского. Просто эти два наблюдателя задают две различные системы координат в нём, которые в каком-то смысле переходят в друг друга посредством "поворота", т.е. линейного преобразования, сохраняющее пространственно-временной интервал. Отсюда ясно, что преобразования Лоренца должны быть линейны и образовывать группу. Кое-что на эту тему можно прочесть в учебнике Кострикина по линейной алгебре в параграфе 4.4.

Но, на сколько такая точка зрения верна, удобна и педагогична, у меня вопрос к физикам.

[KregSeptim]

мат-ламер
В строгих терминах об этом думается так: существует пространство Минковского, наблюдатель это ортонормированный базис в нём, однородная группа Лоренца это группа $O(1, 3)$, которая описывает переход от одного ортонормированного базиса к другому. Впрочем, как я уже говорил, даже такая формулировка теряет некоторые преобразования: из первого + второго постулата следует не $O(1, 3)$, а полупрямое произведение этой группы с аддитивной группой пространства Минковского. Это к вопросу о строгости.

[мат-ламер]

KregSeptim
Спасибо! Первую половину вашего поста понял. Вторую пока нет. Буду думать.

Да, я забыл написать про ортонормированность базисов. Из него следует что линейное преобразование одного базиса в другое обязательно сохраняет псевдоевклидовый интервал.

[sergey zhukov]

xagiwo
Если мы возьмем подправленные преобразования Галилея и заменим там $x$ на $t$ и наоборот, то ничего не поменяется. Это значит, что эти преобразования делают что-то симметричное с осями $x$ и $t$ относительно пути светового луча (биссектриса в случае $c=1$). Ясно, что такое преобразование сохраняет скорость света. Т.е. это не значит, что из постоянства скорости света следуют с необходимостью именно эти преобразования. Просто они подходят.

Если бы преобразования были нелинейными, то они переводили бы ИСО в неИСО, а мы ищем преобразования, связывающие две ИСО.

Обычно при выводе преобразований Лоренца говорят "совместим направление осей обеих систем отсчета и направим относительную скорость вдоль оси $x$". Это делать не обязательно, просто так проще получить результат. Можно было бы взять произвольную взаимную ориентацию осей и направить относительную скорость как попало. Мы получили бы более сложный результат, в котором не только координаты $x$ и $t$, но вообще все координаты при преобразованиях Лоренца пришлось бы пересчитывать. Зачем так делать, если выбор координат произволен? Нужно выбирать самые простые.

[xagiwo]

KregSeptim в сообщении #1538525 писал(а):

А именно, из второго постулата следует так называемая группа каузальных автоморфизмов, а первый срезает преобразования дилатации, и в итоге у нас на руках однородная группа Пуанкаре, которая шире бустов

Я не знаю этот язык.

KregSeptim в сообщении #1538525 писал(а):

Потому что они должны переводить прямую мировую линию в прямую (что означает отсутствие ускорения у ИСО). Такие преобразования с необходимостью аффинные, если наложить требование гладкости. Затем убирая часть с трансляцией, получаем линейные преобразования.

Это уже понятно, но очень уж формально (в моём понимании), я хочу понять "рукомахание". Какой-то смысл же в нём всё-таки есть? Вообще я пришёл сюда, посмотрев лекцию https://teach-in.ru/lecture/2019-10-07-Yakuta. Там лектор говорит (35:20) что то, что преобразования линейны, следует из того, что при поворотах и параллельных переносах осей координат не меняются длины отрезков, а длительности временных промежутков не меняются, если начать отсчёт времени в другой момент. Это мне кажется почти приемлимым (и лучше, чем в Берклеевском курсе), остаётся только понять, какие координаты он двигает/поворачивает, на что это влияет и почему влияет именно так (и этого я не понимаю)

-- 10.11.2021, 21:32 --

мат-ламер в сообщении #1538531 писал(а):

Просто эти два наблюдателя задают две различные системы координат в нём, которые в каком-то смысле переходят в друг друга посредством "поворота", т.е. линейного преобразования, сохраняющее пространственно-временной интервал.

Именно так я об этом и думаю, но и я не физик.

[Pphantom]

xagiwo в сообщении #1538524 писал(а):

Я не понимаю, почему преобразования должны быть линейны

Потому что нужно найти простейшее возможное решение, а потом проверить его экспериментально. Это физика, а не математика, так что мотивировка "ищем там, где проще, и останавливаемся, когда находим нужное" вполне работает.

Линейные преобразования хороши тем, что переводят равномерное прямолинейное движение в равномерное прямолинейное (что хочется иметь в соответствии с принципом относительности), других очевидных кандидатов на выполнение этого условия нет. Более того, непосредственно при создании СТО так, собственно, и было - никто не доказывал, что не существует какого-то другого класса преобразований, удовлетворяющих всем условиях. Эта задача была решена на полвека позже.

xagiwo в сообщении #1538524 писал(а):

почему вообще мы можем выбрать новую СО так, что новые оси параллельны старым

Потому что нам так хочется. На самом деле это не обязательно: условия параллельности осей, совпадения начал отсчета времени и начал отсчета координат в нулевой момент - это просто упрощение. Мы всегда можем сдвинуть и повернуть координатные оси, а также сместить начало отсчета времени, поэтому ничего физически интересного в учете всего этого нет, а вот размер выражений для преобразований все это изрядно увеличит.

[xagiwo]

Pphantom В целом первая половина сообщения отвечает на мой вопрос, но насчёт второй я должен сказать: я спрашивал не почему мы из всевозможных СК выбрали такую, а почему то, что мы выбрали, действительно окажется СК (почему прямые при изменении точки зрения не искривятся)

У меня есть ещё один вопрос (наверное, его мог бы задать и физик, потому что его волнует внутренняя непротиворечивость его теории?). Если мы с помощью п. Лоренца перейдём из СО $A$ в СО $B$, а затем из СО $B$ в СО $C$, это то же самое, что перейти из $A$ в $C$? Кажется, можно воспользоваться тем, что ПЛ – единственное линейное преобразование, сохраняющее интервал и композиция таковых тоже такова?

[Pphantom]

xagiwo в сообщении #1538585 писал(а):

я спрашивал не почему мы из всевозможных СК выбрали такую, а почему то, что мы выбрали, действительно окажется СК (почему прямые при изменении точки зрения не искривятся)

А мы ее, вообще говоря, не выбрали, а скорее создали. Т.е. это не что-то заранее существующее с какими-то возможно неподходящими свойствами, а то, что мы хотим иметь.

xagiwo в сообщении #1538585 писал(а):

Если мы с помощью п. Лоренца перейдём из СО $A$ в СО $B$, а затем из СО $B$ в СО $C$, это то же самое, что перейти из $A$ в $C$?

Да.

xagiwo в сообщении #1538585 писал(а):

Кажется, можно воспользоваться тем, что ПЛ – единственное линейное преобразование, сохраняющее интервал и композиция таковых тоже такова?

Да, например так.

xagiwo в сообщении #1538585 писал(а):

наверное, его мог бы задать и физик, потому что его волнует внутренняя непротиворечивость его теории?

В общем случае это менее интересно, но тут это проще получить другим способом.