Тензор энергии-импульса системы частиц

[kzv]

Здравствуйте.
Не могу разобраться по учебнику ЛЛ-2, там как-то очень коротко и "на пальцах" выводится формула для компонент тензора энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц. В моем издании это глава 5, параграф 33.
Начинается вывод с того, что по аналогии с плотностью заряда, вводится формула для плотности массы.

$\mu=\sum\limits_{a} m_a\delta(r-r_a)$

Тут аналогия понятна.
Далее цитата: "плотность импульса частиц напишется в виде $\mu c u^\alpha$."
Вопрос 1: Откуда взялась эта формула для плотности импульса?

Если с первым вопросом разобраться, тогда следующая формула мне понятна: приравниваем плотность импульса из ее определения в предыдущем параграфе к формуле из вопроса 1.

$\frac{T^{0\alpha}}{c}=\mu c u^\alpha$

Дальше опять цитата: "но плотность массы является временной компонентой 4-вектора $\frac{\mu}{c}\frac{dx^k}{dt}$ "
Вопрос 2: о каком 4-векторе речь? В параграфе на который идет ссылка для аналогии, есть формула для 4-ветора тока $j^i=\rho\frac{dx^i}{dt}$. Судя по всему это про него? Тогда откуда скорость света взялась? И как этот 4-вектор назвать можно? Вектор тока массы?

Ну и далее, если разобраться с вопросом 2, то в принципе наверное сам смогу разобраться откуда окончательная формула взялась:

$T^{ik}=\mu c u^i u^k\frac{ds}{dt}$

[svv]

kzv в сообщении #1538109 писал(а):

Не могу разобраться по учебнику ЛЛ-2, там как-то очень коротко и "на пальцах" выводится формула для компонент тензора энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц.

Очень многие люди жалуются на то, что курс ЛЛ трудно читать, особенно в качестве первого учебника. Возможно, стоит поискать другой учебник.

kzv в сообщении #1538109 писал(а):

Начинается вывод с того, что по аналогии с плотностью заряда, вводится формула для плотности массы.
$\mu=\sum\limits_{a} m_a\delta(r-r_a)$

Да. У нас есть инструмент — дельта-функция $\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$, эта штука равна нулю при $\mathbf r\neq \mathbf r_0$, бесконечности при $\mathbf r=\mathbf r_0$, при этом интеграл по всему пространству $\int\limits_{\mathbb R^3}\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)dV=1$. Аналогичный интеграл по области $\Omega$ равен $1$, если точка $\mathbf r_0$ находится внутри $\Omega$, равен $0$, если $\mathbf r_0$ снаружи $\Omega$, а точно на границу $\Omega$ точечные массы у нас никогда попадать не будут.

Пусть внутри области $\Omega$ находится $n$ частиц с массами $m_a$ и радиус-векторами $\mathbf r_a\in\Omega$, где $a=1...n$. Подберём такую подинтегральную функцию, чтобы объёмный интеграл от неё по $\Omega$ давал общую массу этих частиц:
$\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{a=1}^n m_a\delta(\mathbf r-\mathbf r_a)dV=\sum\limits_{a=1}^n m_a \int\limits_{\Omega}\delta(\mathbf r-\mathbf r_a)dV=\sum\limits_{a=1}^n m_a$

Теперь подберём такую подинтегральную функцию, чтобы объёмный интеграл от неё давал общий импульс частиц. 3-импульс $a$-й частицы равен $\mathbf p_a=m_a\frac{\mathbf v_a}{\sqrt{1-\frac{v_a^2}{c^2}}}$ (9.1).
С учётом (9.13),(9.14) компоненты $\mathbf p_a$ равны:
$p_a^\alpha=m_a c u_a^\alpha$ (греческие индексы пробегают значения $1,2,3$)
Значит, если взять плотность $\sum\limits_{a=1}^n m_a c u_a^\alpha\delta(\mathbf r-\mathbf r_a)$, интеграл от неё даст полный импульс $P^\alpha=\sum\limits_\alpha p^\alpha_a$ частиц внутри $\Omega$.

ЛЛ делают следующий шаг. Пусть $u^\alpha(\mathbf r)$ — некоторая гладкая векторная функция координат, определённая в $\Omega$, причём в каждой точке $\mathbf r=\mathbf r_a$ она совпадает с $u_a^\alpha$. От номера частицы она уже не зависит. Она «имитирует» распределение 4-скоростей непрерывной среды. Для значения интеграла не важно, как $u^\alpha(\mathbf r)$ определена в точках, где нет частиц. И подинтегральную функцию можно с равным успехом записать в виде
$\left(\sum\limits_{a=1}^n m_a \delta(\mathbf r-\mathbf r_a)\right)c u^\alpha=\mu c u^\alpha$

-- Вс ноя 07, 2021 19:54:00 --

Почему я рассматривал эти интегралы по объёму? Потому что плотность массы — это такая функция $f(\mathbf r)$, объёмный интеграл от которой по любой области $\Omega$ равен полной массе частиц (или непрерывного вещества) в этой области. Аналогично, плотность импульса — это такая функция, объёмный интеграл от которой по области $\Omega$ равен полному импульсу вещества, заключённого в этой области. Эти свойства «кандидатов в плотности» и проверялись.

[kzv]

Спасибо, с плотностью импульса все стало более или менее понятно теперь.
Удручает, что плотность массы является временной компонентой 4-вектора, которому нет ни названия ни обозначения в ЛЛ. Это некий вектор $\frac{\mu}{c}\frac{dx^k}{dt}$
Если продолжать чтение учебника между строк, то получается что-то вроде: плотность массы является временной компонентой 4-вектора и входит в временные компоненты тензора энергии-импульса, значит остальные компоненты этого 4-вектора входят в состав остальных компонент тензора энергии импульса:

$T^{0\alpha}=\mu c^2 u^\alpha$
$j^i=\frac{\mu}{c}\frac{dx^k}{dt}=(\mu,j^1,j^2,j^3)$

Домножая безымянный вектор на $c^2 u^\alpha$, получим все компоненты тензора энергии-импульса в виде:

$T^{i\alpha}=j^i c^2 u^\alpha = (\mu c^2 u^\alpha,T^{1\alpha},T^{2\alpha},T^{3\alpha})$

Все верно?

[zykov]

kzv в сообщении #1538225 писал(а):

Удручает, что плотность массы является временной компонентой 4-вектора,

Это скорее 4-вектор потока (или если хотите, тока) массы.
Его 3 пространственные компоненты - поток в 3D.
4ый компонент - поток в направлении времени.

Сравните с 4-вектором энергии-имплуьса.
3 пространственных компоненты - импульс.
Временная копмонента - энергия.

Всё симметрично, все 4 компоненты равноправны.

[svv]

kzv в сообщении #1538109 писал(а):

Дальше опять цитата: "но плотность массы является временной компонентой 4-вектора $\frac{\mu}{c}\frac{dx^k}{dt}$ "
Вопрос 2: о каком 4-векторе речь?

Итак, введена величина — плотность массы $\mu$, интеграл от которой по трёхмерной области даёт массу вещества, заключённого в области. Мы будем теперь рассматривать непрерывное распределение вещества, а области будем брать настолько малые, чтобы в их пределах $\mu$ и 4-скорость вещества $u^i$ можно было считать константами.

Выделим небольшое количество непрерывно распределённого вещества массой $m$, далее кусочек. Пусть в той ИСО, в которой кусочек неподвижен (в собственной ИСО кусочка), он занимает область $\Omega^*$. Эта область имеет объём $V^*$ — собственный объём кусочка. Здесь кусочек имеет плотность массы $\mu^*=\frac{m}{V^*}$ — это собственная плотность массы кусочка, т.е. плотность в системе, где он неподвижен.

В другой ИСО кусочек движется со скоростью $v$ и занимает (подвижную) область $\Omega$ объёмом $V=V^*\sqrt{1-v^2/c^2}$, см. формулу (4.6). Поэтому следует предположить, что здесь его плотность массы уже другая, $\mu$.

Потребуем, чтобы интеграл от $\mu$ по области $\Omega$ давал ту же массу $m$, что и интеграл от $\mu^*$ по области $\Omega^*$. Так как плотность постоянна, интегрирование сводится к
$m=\mu V=\mu^*V^*$
Отсюда $\mu=\mu^*\frac{V^*}{V}=\frac{\mu^*}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Теперь посмотрим на тот вектор:
$\frac{\mu}c\frac{dx^k}{dt}=\frac{\mu^*}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{dx^k}{dt}$
Имеем $c\sqrt{1-v^2/c^2}dt=ds$, см. формулу без номера под формулой (7.1), в самом низу стр.41.
Поэтому наш вектор равен
$\mu^*\frac{dx^k}{ds}=\mu^*u^k$
Теперь видно, что это действительно 4-вектор, потому что $u^k$ — 4-вектор, а $\mu^*$ — скалярный инвариант, собственная плотность массы. В какой бы СО мы ни производили расчёты, в качестве $\mu^*$ по определению надо взять плотность массы кусочка в той системе, где он покоится. Понятно, что таким образом определённый $\mu^*$ будет в любой СО иметь одно и то же значение.