Алгебра и геометрия: найти радиус-вектор точки пересечения

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

-----

Найти радиус-вектор точки пересечения прямой $r=r_0 + a t$ с плоскостью $\left( r, n \right) = D$, если $\left( a, n \right) \neq 0$.

-----

Точка пересечения на прямой соответствует некоторому времени $t_1$, поэтому её радиус-вектор $r_1 = r_0 + a t_1$. Одновременно её координаты удовлетворяют уравнению плоскости, поэтому подставим в уравнение:

$$ (r_0 + a t_1, n) = D $$

По свойствам скалярного произведения векторов справедливы преобразования:

$$ (r_0 + a t_1, n) = D $$

$$ (r_0, n) + t_1 (a, n) = D $$

$$ t_1 = \frac{D - (r_0, n)}{(a, n)}, \text{ где } (a, n) \neq 0 \text{ по условию задачи} $$

Подставим найденное время в уравнение прямой, что и будет ответом:

$$ r_1 = r_0 + a \cdot \frac{D - (r_0, n)}{(a, n)} $$

[svv]

Да, правильно.
Проверка простая. Поскольку радиус-вектор $r_1$ имеет вид $r_0+at_1$, где $t_1$ — некоторое число, соответствующая ему точка лежит на заданной прямой. А так как выполняется
$(r_1,n)=(r_0,n)+(a,n)\dfrac{D-(r_0,n)}{(a,n)}=(r_0,n)+D-(r_0,n)=D,$
эта точка также лежит в нужной плоскости.

Трактовка $t$ как времени в уравнении $r=r_0+at$ наглядна и может быть очень полезной в конкретных задачах, но всё-таки с точки зрения математики $t$ — это просто параметр.

Данный раздел математики, который вроде как геометрия, но в то же время и алгебра, называется аналитическая геометрия.

[StepV]

Alexander__ в сообщении #1537659 писал(а):

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

Нет, мне кажется, что у вас ошибка. Сами условия задачи противоречат друг другу. Если вы задаете плоскость формулой
$(\overrightarrow{r},\overrightarrow{n})=D$
для значения параметра $t_0$, то у вас уже плоскость пересекла прямую при этом значении параметра и при любых $t_1 > t_0 $ прямая уже эту плоскость не пересечет.
Т.е. вообще-то, для момента $t_1$ уравнение будет выглядеть, как
$(\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{a}\cdot t_1, \overrightarrow{n})=D_1$,
но никак не равно $D$. У вас будет уже другая плоскость.
У вас в решении получилась просто плоскость, скользящая по прямой, вместе с радиус-вектором. Если так, то тоже решение является тривиальным, т.к. плоскость строится в каждой точке прямой заново.

[svv]

StepV
Буквы $r$ в уравнениях $r=r_0 + a t$ и $(r, n) = D$ не имеют никакого отношения друг к другу. «Область видимости» каждой $r$ ограничивается уравнением, в которое она входит.

По условию даны векторы $r_0, a, n$ и число $D$.

Уравнение $r=r_0 + a t$ определяет прямую как множество векторов $r\in\mathbb R^3$, представимых в виде $r_0+at$, где $t\in\mathbb R$.
Уравнение $(r, n) = D$ определяет плоскость как множество векторов $r\in\mathbb R^3$, удовлетворяющих условию $(r,n)=D$.

Таким образом, плоскость тут одна, неподвижная, ни от какого параметра она не зависит, и её определение с прямой никак не связано.

[StepV]

svv в сообщении #1538104 писал(а):

Буквы $r$ в уравнениях $r=r_0 + a t$ и $(r, n) = D$ не имеют никакого отношения друг к другу. «Область видимости» каждой $r$ ограничивается уравнением, в которое она входит.

К сожалению, эту двусмысленность в условии задачи ТС должен иметь в виду. При условии, которое вы указываете, тогда необходимо дополнительное ограничение на уравнение:

Alexander__ в сообщении #1537659 писал(а):

По свойствам скалярного произведения векторов справедливы преобразования:

$$ (r_0 + a t_1, n) = D $$

Вектор $ \overrightarrow{r_x}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{a} t_1$ должен быть коллинеарен вектору $\overrightarro{r}$, который задан в определении самой плоскости. Иначе опять же, если это радиус-вектор, то плоскость задается другая и скалярное произведение буден равно некоторому $D_1$.

[svv]

StepV в сообщении #1538114 писал(а):

Вектор $ \overrightarrow{r_x}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{a} t_1$ должен быть коллинеарен вектору $\overrightarro{r}$, который задан в определении самой плоскости.

В определении плоскости нет какого-то одного вектора $r$, который был бы там задан. Определение плоскости построено так: любой радиус-вектор $r$, который удовлетворяет уравнению $(r,n)=D$, соответствует точке, лежащей в плоскости. А если $r$ не удовлетворяет этому уравнению, соответствующая точка в плоскости не лежит.

Но не может же Ваш $r_x$ быть коллинеарным сразу всем $r$, которые уравнению $(r,n)=D$ удовлетворяют? А какому-то одному из них — да, коллинеарен (при правильном выборе $t_1$), более того, равен ему. Потому что вектору $r_0+at_1$ соответствует точка, которая одновременно лежит на прямой и в плоскости (их пересечение).

[StepV]

svv в сообщении #1538104 писал(а):

По условию даны векторы $r_0, a, n$ и число $D$.

Да. При таком варианте виденья задачи, все вопросы к решению снимаются.