Механика.

[Таня Санафеева]

Привет! Подкиньте идею, please.
М.т. движется замедленно по дуге R так, что $a_\tau$ и $a_n$ в каждый момент $t$ равны по модулю между собой. Найти $v$ и $a$, если известны $S$ и $v_0$ при $t_0=0$.

Хотела бы получить подтверждение того, что движение является равнозамедленным криволинейным, где вектор $a_\tau$ противоположен вектору $v$. Верно ли ниже равенство:
$a_\tau=\frac{dv}{dt}}$ → $v_0-v=a_\tau t$; $a_\tau= \frac{v_0-v}{t}}$
$a_n=\frac{v^2}{R}}$
$a_\tau = a_n$ → $\frac{v_0-v}{t}} = \frac{v^2}{R}}$ → $t = \frac{R(v_0-v)}{v^2}}$
$v=\frac{dS}{dt}}$ → $S-S_0=v_0t-\frac{a_\tau t^2}{2}}$ → $S=v_0t-\frac{a_\tau t^2}{2}}$

Или

$\frac{dv}{dt}} = \frac{v^2}{R}}$ → $\frac{dv}{v^2}} = \frac{dt}{R}}$ → $\frac{1}{v}} = \frac{t}{R}}$ → $t = \frac{R}{v}}$

[Munin]

Именно последняя строчка. Так что никакой равнозамедленности.

[Таня Санафеева]

Тоесть все так просто и время находится именно по последней строчке?

[GAA]

Таня Санафеева писал(а):

$\frac{dv}{dt}} = \frac{v^2}{R}}$ → $\frac{dv}{v^2}} = \frac{dt}{R}}$ → $\frac{1}{v}} = \frac{t}{R}}$ → $t = \frac{R}{v}}$

А все ли правильно в этой строчке? Как учитываются начальные условия?

[chiba]

Таня Санафеева в сообщении #153737 писал(а):

Тоесть все так просто и время находится именно по последней строчке?

Конечно. Это же дифф ур., а выше была неудачная попытка решить этот дифур разностным методом. Только он решен не правильно

GAA в сообщении #153744 писал(а):

А все ли правильно в этой строчке? Как учитываются начальные условия?

Никак. Просто взяты первообразные, а про константу интегрирования забыла.
$V=-\frac R{const R+t}
Теперь нужно просто подставить начальные условия.

[GAA]

chiba писал(а):

$V=-\frac R{const R+t}Теперь нужно просто подставить начальные условия.

Удобней сразу рассматривать интегралы с переменным верхним пределом.

[Таня Санафеева]

Здравствуйте, GAA!
Ну вообще-то получается:
$\int^V_v \frac{dv}{v^2}} = \frac{1}{R}} \int^t_0 dt$ (где $V$ -скорость при $S$, $v$ - начальная скорость)

$-\frac{1}{V}}+\frac{1}{v}} = \frac{1}{R}} t$

$\frac{1}{v}}-\frac{1}{V}} = \frac{1}{R}} t$

$\frac{V-v}{Vv}} = \frac{1}{R}} t$

Но так как движение замедленное, т.е $V<v$, то $\frac{v-V}{Vv}} = \frac{t}{R}}$

Правильно?

[GAA]

Поскольку по условию м.т. движется замедленно, я бы начал с $dv/dt = - v^2/R$.

[Таня Санафеева]

GAA, получается:


$\int^V_v \frac{dv}{v^2}} = -\frac{1}{R}} \int^t_0 dt$ (где $V$ -скорость при $S$, $v$ - начальная скорость)

$-\frac{1}{v}} \int^V_v = - \frac{1}{R}t \int^t_0}$

$\frac{1}{V}}-\frac{1}{v}} = \frac{t}{R}} $

$\frac{v-V}{Vv}} = \frac{t}{R}} $

[GAA]

Как будто. Остается найти $V=f(t)$ и найти $\bar{a}(t)$ или $|\bar{a}(t)|$.

[Добавлено]

А что такое $S$?

[Таня Санафеева]

Уважаемый GAA, дело в том, что как я только не пробовала решать эту задачу (прорешала задачи из различных учебников по физике, а вот эту не пойму никак). А все дело в том, что не известны: конечная скорость, время $t$ при $S$.

Добавлено спустя 13 минут 35 секунд:

$S$ - это путь, пройденный за время $t$.

Добавлено спустя 11 минут 27 секунд:

А откуда берется "$-$" в выражении $dv/dt=-v^2/R$?

Добавлено спустя 8 минут 1 секунду:

Я неправильно сформулировала вопрос. Если появляется минус, то записывать выражение в векторной форме?

[chiba]

Таня Санафеева в сообщении #153750 писал(а):

$\frac {V-v}{Vv}=\frac 1{R}t$
Но так как движение замедленное, т.е , то

Так надо же теперь решить уравнение относительно $V. (Я так понял, что $v=v_0$)
Получается
$V=\frac {Rv}{R-vt}$
Осталось проанализировать функцию в зависимости от времени. И тут, о чудо!, мы получаем не замадленное, а ускоренное движение. Причем за конечное время скорость достигает бесконечности.
Загвоздка в том, что мы решаем уравнение $a_\tau=a_n$ взяв ускорения по абсолютной величине. Поскольку изначально задано, что ускорение $a_\tau противоположно скорости, то величина $a_\tau=\frac {dV}{dt}$ - отрицательна. Значит изначально решаемое уравнение должно иметь вид не $\frac {dV}{dt}=\frac {V^2}{R}$, а
$\frac {dV}{dt}=-\frac {V^2}{R}$
Его решение будет уже замедленным
$V=\frac {R v_0}{R+v_0 t}$

[GAA]

Таня Санафеева писал(а):

А откуда берется "$-$" в выражении $dv/dt=-v^2/R$?

Грамотно не объясню. Интуитивно — это очевидно: если ускорение отрицательно, то оно не может быть равно положительному числу.

$v=\frac{1}{t/R+1/v_0} = \frac{v_0}{1 + v_0t/R}$

[chiba]

GAA в сообщении #153772 писал(а):

Грамотно не объясню. Интуитивно — это очевидно: если ускорение отрицательно, то оно не может быть равно положительному числу.

$a_\tau=\frac {dV}{dt} - отрицательно, тогда
$|a_\tau|=-\frac {dV}{dt}.
А исходное условие
$|a_\tau|=|a_n|.

[GAA]

chiba писал(а):

А исходное условие $|a_\tau|=|a_n|.

и ещё

Таня Санафеева писал(а):

М.т. движется замедленно

Таня, c $S$ я не понял. Если это "конечный" пройденный путь, то можно найти время $T$, соответсвующее $S$.

Добавлено спустя 7 минут 40 секунд:

Если так, то интегрируя $ds/dt = v$ (где $v$ — это скорость как функция времени, $s$ — путь как функция времени ) от 0 до $S$ по $s$, и 0 до $T$ по $t$ находим момент времени $T$, соответствующий S. Дальше находим $v(T)$ и $a(T)$.

Успехов.