Компоненты тензора ЭМП

[Alastoros]

По ЛЛ-2, ЭМП выражается через потенциал как ${{\varphi}_{ik}} = {{\varphi}_{k,i}} - {{\varphi}_{i,k}}$. С электрическим полем все понятно, но всегда ли для магнитного поля ${H_1} = {{\varphi}_{32}}$ и т.д.?

С одной стороны, если магнитных монополей нет, уравнение ${\nabla}{\cdot}B = 0$ справедливо и $B = {\nabla}{\times}A$, и связь поля с потенциалом остается такой же. Но, с другой стороны, если в некоторой области нет токов проводимости или смещения, ${\nabla}{\times}B = 0$ и магнитное поле является потенциальным $B = -{\nabla}{\cdot}{{\varphi}_{m}}$, то есть выражается аналогично электрическому. Сохраняется ли и в этом случае определение ${H_1} = {\varphi}_{32}$, или правильнее было бы использовать какой-нибудь нестандартный тензор электромагнитного поля, в котором магнитной компонентой будет ${f_{01}}$?

Кроме того, если скалярный магнитный потенциал не является $0$-компонентой $4$-вектора электромагнитного потенциала, то существует ли $4$-вектор, для которой он им является, а его пространственные компоненты были бы векторным потенциалом для электрического поля или чем-нибудь в этом роде?

[svv]

В стандартных обозначениях $\mathbf B$ — вектор магнитной индукции, а $\mathbf H$ — напряжённость магнитного поля, это разные величины.

Но мне кажется, Вы тут под $H_1$ понимаете просто первую компоненту вектора $\mathbf B$. Уточните, пожалуйста.

[Alastoros]

Вы правы, просто в спешке я использовал формулы из ЛЛ-2 и "Электродинамики" Измайлова, в первом компоненты тензора ЭМП это напряженности $E$ и $H$, а в "Физической энциклопедии" это $E$ и $B$ или $D$ и $H$, я имел в виду $E$ и$B$.

[svv]

Для существования такого поля $\mathbf A$, что $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$, достаточно, если $\nabla\cdot\mathbf B=0$ во всём пространстве, дополнительное свойство потенциальности $\mathbf B$ помешать этому не может. И в любом случае $B_1=F_{32}$, где $F_{ik}$ — тензор ЭМ поля.

Если поле $\mathbf B$ одновременно имеет свойства $\nabla\cdot\mathbf B=0$ и $\nabla\times\mathbf B=0$, то справедливы оба его выражения через потенциалы: существует такое векторное поле $\mathbf A$, что $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$, и существует такое скалярное поле $\varphi_m$, что $\mathbf B=-\nabla\varphi_m$. Однозначный скалярный потенциал $\varphi_m$ существует не для всякой области, в которой выполняется $\nabla\times\mathbf B=0$, т.е. его существование накладывает некоторые ограничения на область.

Alastoros в сообщении #1537025 писал(а):

$B = -{\nabla}{\cdot}{{\varphi}_{m}}$

Тут точка не нужна, с точкой получается дивергенция, дающая скалярное поле, а нам нужен градиент $\nabla\varphi_m$, дающий векторное поле.

Alastoros в сообщении #1537025 писал(а):

Кроме того, если скалярный магнитный потенциал не является $0$-компонентой $4$-вектора электромагнитного потенциала, то существует ли $4$-вектор, для которой он им является, а его пространственные компоненты были бы векторным потенциалом для электрического поля или чем-нибудь в этом роде?

Предположим, что такой 4-вектор есть. Обозначим его пространственную часть $\mathbf C$. Мы хотим, чтобы было $\mathbf E=\nabla\times\mathbf C$. Но тогда $\nabla\cdot\mathbf E=0$, что противоречит закону Гаусса $\nabla\cdot\mathbf E=4\pi\rho$ (СГС).

«Что-нибудь в этом роде» — это, наверное, слишком широкая формулировка, чтобы можно было однозначно ответить...

[Alastoros]

Премного благодарен за объяснения!!! Примерно так я и думал, что если дивергенция $B$ равна нулю, то магнитное поле будет ротором и что потенциальность этому не мешает, но боялся, что ошибался.

[Theoristos]

Alastoros в сообщении #1537025 писал(а):

С одной стороны, если магнитных монополей нет

Если монополи есть, всё становится зело нетривиально.
Есть книга Стражева и Томильчика "Электродинамика с магнитным зарядом", там довольно подробно такие моменты обсуждаются.

[мат-ламер]

Alastoros в сообщении #1537070 писал(а):

Примерно так я и думал, что если дивергенция $B$ равна нулю, то магнитное поле будет ротором

Theoristos в сообщении #1537511 писал(а):

Если монополи есть, всё становится зело нетривиально.

В монополях не понимаю. То, что нетривиально, показывает пример из Гелбаум, Олмстед, "Контрпримеры в анализе", пример 9.19 "Соленоидальное векторное поле, заданное в односвязной области и не имеющее векторного потенциала".

[svv]

Да, подобные случаи и подразумевались в оговорках «если $\nabla\cdot\mathbf B=0$ во всём пространстве» (у Гелбаума и Олмстеда $W=\mathbb R^3\setminus\{\mathbf 0\}$) и «скалярный потенциал $\varphi_m$ существует не для всякой области...».
Спасибо Red_Herring за ценные уточнения.

[Red_Herring]

Если у нас есть область, то $\mathbf{B}=\nabla \varphi \implies \nabla \times \mathbf{B}=0$ и $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} \implies \nabla \cdot\mathbf{B}=0$ , но обратные импликации, вообще говоря, неверны. Имеются топологические препятствия и они различны. См Число Бетти (лучше чем в русской вики). В частности,

• $\mathbf{B}=\nabla \varphi \impliedby \nabla \times \mathbf{B}=0$ верно в пространстве с выкинутой точкой и неверно в пространстве с выкинутой прямой
  и
• $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} \impliedby \nabla \cdot\mathbf{B}=0$ неверно в пространстве с выкинутой точкой и верно в пространстве с выкинутой прямой

Обобщение: операторы $d$ и $\delta=d^*$ на формах

[Alastoros]

А как, интересно, первая группа уравнений Максвелла переписывается для магнитных зарядов?
Без них
${f_{ik,a}} + {f_{ka,i}} + {f_{ai,k}} = 0$
, а как это с ними переписывается?
Каждое из этих уравнений напишется как
${f_{32,1}} + {f_{13,2}} + {f_{21,3}} + {j_{m0}} = 0$
${f_{03,2}} + {f_{20,3}} + {f_{32,0}} + {j_{m1}} = 0$
${f_{01,3}} + {f_{30,1}} + {f_{13,0}} + {j_{m2}} = 0$
${f_{02,1}} + {f_{10,2}} + {f_{21,0}} + {j_{m3}} = 0$
, индексы тензора электромагнитного поля записываются как и раньше, а как написать индекс магнитного 4-тока (так-то понятно, как он находится, через произведение кватернионов, соответствующих всем индексам до него)?

[svv]

В трёхмерных обозначениях так ($c=1$, СГС).
$\operatorname{div}\mathbf B=4\pi\rho_{\text{m}}$
$-\operatorname{rot}\mathbf E-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}=4\pi\mathbf j_{\text{m}}$
В компонентах:
$\begin{array}{lllll}&+\dfrac{\partial B_x}{\partial x}&+\dfrac{\partial B_y}{\partial y}&+\dfrac{\partial B_z}{\partial z}&=4\pi \rho_{\text{m}}\\[2ex]-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}&&-\dfrac{\partial E_z}{\partial y}&+\dfrac{\partial E_y}{\partial z}&=4\pi j_{\text{m}x}\\[2ex]-\dfrac{\partial B_y}{\partial t}&+\dfrac{\partial E_z}{\partial x}&&-\dfrac{\partial E_x}{\partial z}&=4\pi j_{\text{m}y}\\[2ex]-\dfrac{\partial B_z}{\partial t}&-\dfrac{\partial E_y}{\partial x}&+\dfrac{\partial E_x}{\partial y}&&=4\pi j_{\text{m}z}\end{array}$

Для четырёхмерной записи этих уравнений удобно использовать не обычный тензор ЭМ поля
$F_{\ell m}=\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&-B_z&B_y\\-E_y&B_z&0&-B_x\\-E_z&-B_y&B_x&0\end{bmatrix},$
а дуальный ему тензор ЭМ поля с контравариантными компонентами: $(^*F)^{ik} =\frac 1 2 \frac{\varepsilon^{ik\ell m}}{\sqrt{|g|}} \;F_{\ell m}.$ Конечно, мы работаем в лоренцевой системе координат, где $\sqrt{|g|}=1$. Используется соглашение о знаках $\varepsilon_{0123}=1, \;\varepsilon^{0123}=-1$ (у Ландау-Лифшица наоборот). С этими соглашениями дуальный тензор равен:
$(^*F)^{ik}=\begin{bmatrix}0&B_x&B_y&B_z\\-B_x&0&-E_z&E_y\\-B_y&E_z&0&-E_x\\-B_z&-E_y&E_x&0\end{bmatrix}$
С ним четыре уравнения в компонентах сворачиваются в
$(^*F)^{ik}{}_{,k}=4\pi j_\text{m}^i,$
где $4$-вектор $j_\text{m}^i=(\rho_\text{m}, \mathbf j_\text{m}).$

С более привычным $F_{\ell m}$:
$\frac 1 2 \varepsilon^{ik\ell m} \;F_{\ell m,k}=4\pi j_\text{m}^i,$
или
$\begin{array}{lllll}&+F_{32,1}&+F_{13,2}&+F_{21,3}&=4\pi j_\text{m}^0\\[0.7ex] +F_{23,0}&&+F_{30,2}&+F_{02,3}&=4\pi j_\text{m}^1\\[0.7ex]+F_{31,0}&+F_{03,1}&&+F_{10,3}&=4\pi j_\text{m}^2\\[0.7ex]+F_{12,0}&+F_{20,1}&+F_{01,2}&&=4\pi j_\text{m}^3\end{array}$
Но тут, по-моему, хуже видна закономерность. Вообще, везде старался записывать так, чтобы лучше была видна симметрия.