Пи как 355/113

[zykov]

Andrey A в сообщении #1537373 писал(а):

"На глаз" в разложении алгебраических чисел таких скачков не меньше.

Выше приводили релевантную ссылку про меру иррациональности.
Там приведен факт, что для алгебраических иррациональных мера строго равна 2.
(Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел.)
Для трансцендентных она как правило больше 2. Для $\pi$ она не больше $ 7.103205334137$. Странно что для $e$ она равна 2.

[epros]

zykov в сообщении #1537378 писал(а):

Для $\pi$ она не больше $ 7.103205334137$.

Если я правильно понял, то мера иррациональности - это не совсем о том. Она про приближение с любой точностью, а не про то, насколько нам может повезти в одном конкретном приближении.

[zykov]

epros
Да, это своего рода минимум ошибки.
О том, что иногда будут возникать хорошие приближения. Но конечно не все подряд приближения будут так хороши.

[пианист]

$\frac{228}{395}$ с такой же примерно точностью приближает константу Эйлера-Маскерони.
Это нуждается в объяснении?

[zykov]

пианист в сообщении #1537382 писал(а):

Это нуждается в объяснении?

Если есть объяснение, показывайте.
Если нет, то хотя бы пока разобратся с механизмом возникновения хорошего качества для дроби $\frac{355}{113}$.

[Dmitriy40]

Рискну высказать крамолу, но в числе $\pi$ встречаются странные отклонения от чистой случайности. Например широко известный пример что 6 девяток подряд встречается с 762 позиции десятичной записи, хотя ровно 5 девяток подряд обнаруживается лишь на 19446 позиции и все другие цифры 6 штук одинаковых подряд встречаются в позициях за 200тысяч. Ещё пример: ровно 10 одинаковых цифр подряд встречаются в позициях начиная от 387млн до 116млрд в зависимости от цифры, это почти три порядка разницы. Ещё совсем поразительный пример: ровно 12 шестёрок подряд встретились в позиции 1.22трлн, а вот ни 13, ни 14, ни 15, ни 16 не встретились до появления аж 17 шестёрок подряд в позиции 28.6трлн! При этом из других цифр максимально встретились лишь 15 семёрок подряд в позиции почти 47трлн, остальные встречались лишь длиной не более 14 одинаковых подряд. Ещё пример: число $2^{40}$ встречается лишь в позиции 18.26трлн, хотя и $2^{39}$ и $2^{42}$ встречаются в первом триллионе цифр. Отдельно забавно что в десятичной записи числа $\pi$ встречается и сама десятичная запись этого же числа $\pi$, такая "рекурсия" в некотором смысле, известно как минимум про 1-14 первых знаков.
А ведь дисперсия каждой цифры при этом вдвое и более ниже допустимой ($\sqrt{N}$), т.е. цифры сами по себе вполне случайны. Однако складываются вон в какие аномалии.
Так что я не вижу ничего такого уж поразительного в существовании хорошего приближения. Причём практически одного, дальше с ростом чисел таких больших рывков точности вроде бы и нету.
Аномальная точность $355/113$ — обычный статистический артефакт, на какой-то константе должно было случиться, почему не на $\pi$.

[zykov]

пианист в сообщении #1537382 писал(а):

$\frac{228}{395}$ с такой же примерно точностью приближает константу Эйлера-Маскерони.

Проверил $0.5772156649 0153286060$, там $\frac{228}{395}$ имеет качество $-0.0741163$, что немногим менее $0.1$ и сильно отстаёт от $0.0034$.

-- 02.11.2021, 10:40 --

Dmitriy40 в сообщении #1537384 писал(а):

Причём практически одного, дальше с ростом чисел таких больших рывков точности вроде бы и нету.

Есть.

Andrey A в сообщении #1537366 писал(а):

Но есть и лучше: $a_{309}=436, a_{433}=20776.$

Но там $m$ будет уже большое. А тут примечательно, что $m$ очень маленькое - $113$.

[StaticZero]

Dmitriy40, а про $2 \pi$ можно что-нибудь сказать такое же интересное?

[Dmitriy40]

StaticZero в сообщении #1537389 писал(а):

Dmitriy40, а про $2 \pi$ можно что-нибудь сказать такое же интересное?

Быстро - нет. В прямом виде у меня лишь первый миллиард знаков $\pi$ имеется, $2\pi$ из них получить несложно, остальные лишь в упакованном виде (и далеко не все, там 21ТБ данных!) и чтобы по ним набрать статистику надо их надо сначала распаковать и удвоить (или значительно переписать программу для удвоения на лету и сбора статистики в обратном порядке).
С другой стороны, одинаковые цифры подряд после удвоения дадут тоже одинаковые цифры подряд, кроме самой правой, так что можно легко проверить будет ли в них перенос справа и сохранят ли они длину одинаковых цифр подряд или уменьшат на 1. Вот это 100% могу сказать быстро (что длина если и уменьшится, то не более чем на 1) — уже сказал.
Но вообще-то все эти данные есть в OEIS (сам оттуда брал), правда разбросаны по двум десяткам последовательностей.

[пианист]

zykov в сообщении #1537383 писал(а):

Если есть объяснение, показывайте

Я не понимаю, что именно нужно объяснять. Существует число, которое приближается дробями лучше, чем то число, которое приближается дробями хуже всего. И?

zykov в сообщении #1537383 писал(а):

разобратся с механизмом возникновения хорошего качества

Тогда давайте разбираться с $\frac{1}{2}$, тут-то качество по любому лучше, чем у $\pi$..

[zykov]

пианист в сообщении #1537393 писал(а):

Тогда давайте разбираться с $\frac{1}{2}$, тут-то качество по любому лучше, чем у $\pi$..

Прочитайте первый пост в теме (включая "PS"), там всё расписано.

-- 02.11.2021, 12:51 --

zykov в сообщении #1537378 писал(а):

Там приведен факт, что для алгебраических иррациональных мера строго равна 2.

Там же приведен факт, что рациональные числа имеют меру иррациональности 1, что ещё хуже, чем для алгебраических иррациональных.
Рациональное число идеально само себя приближает. Но если посмотреть, как хорошо его другие рациональные приближают, то ошибка будет порядка $\frac{1}{m}$, т.е. качество приближения будет ухудшатся с $m$ линейно.

[Andrey A]

zykov в сообщении #1537385 писал(а):

Andrey A в сообщении #1537366 писал(а):

Но есть и лучше: $a_{309}=436, a_{433}=20776.$

Но там $m$ будет уже большое. А тут примечательно, что $m$ очень маленькое - $113$.

Вот и видно, что в Вашем критерии точности заключена некая несоразмерность. Для квадратного радикала "самым точным" видимо будет $1$-ое решение Пелля.

zykov в сообщении #1537346 писал(а):

Вот получили мы оценку для нашего $x$ в виде $\alpha=\frac{n}{m}$. Насколько эта оценка хороша?
Можно посчитать ошибку оценки $err=\alpha - x$.

Для алгебраического числа ($x$ — корень многочлена $f_{()}$ ) должно выполняться $\alpha -x \approx \dfrac{f_{\alpha}}{f'_{\alpha}}$ (как в аппроксимации Ньютона, только со знаком разберитесь). В случае $\pi $ такого многочлена, понятно, не существует, но что если поискать аналогии в суммировании рядов? Не знаю. Как еще ответить на вопрос почему эта дробь такая хорошая?

[zykov]

Andrey A в сообщении #1537404 писал(а):

Вот и видно, что в Вашем критерии точности заключена некая несоразмерность

Не понял. Можно пояснить?

[Andrey A]

В самом требовании. Для квадратичных иррациональностей величина знаков дроби ограничена сверху, значит ли это, что приближения не становятся точнее? Или так: положим, в пятой сотне знаков есть приближение "не хуже" четвертой дроби по Вашим критериям, каков должен быть соответствующий последующий знак?

[zykov]

Andrey A в сообщении #1537409 писал(а):

Для квадратичных иррациональностей величина знаков дроби ограничена сверху, значит ли это, что приближения не становятся точнее?

Для квадратичных иррациональностей цепная дробь периодична. Значит на всей бесконечности остатки в цепной дроби будут не больше чем по одному периоду. Значить сколь угодно больших в принципе не встретится.
В переводе на "качество дроби" $q$ это значит для всех дробей это $q$ будет ограничено снизу.
Сама ошибка конечно будет улучшатся как $\frac{1}{m^2}$.