Диофантово уравнение.

[nnosipov]

Батороев
Ну вот, я готов обсудить Ваше решение (хотя завтра еще и не наступило :)). Главная претензия такова. Вот Вы пишите:

Батороев в сообщении #1536566 писал(а):

Также необходимо рассмотреть и такую разность между возможными множителями левой части

Ключевое слово здесь --- "необходимо". Однако, чтобы утверждать, что найденное решение --- единственное возможное, нам нужно рассмотреть все возможные варианты, т.е. вместо слова "необходимо" должно быть слово "достаточно". Но доказательство того, что, рассматривая все натуральные делители $k$ числа $x^2+x$, мы действительно охватим все возможные способы разложить левую часть в произведение двух множителей, не приводится. Фактически же рассматриваются только те ситуации, когда $(x^2+x)/k=y+1$, т.е. неявно делается предположение о том, что $x^2+x$ делится на $y+1$. Но эта делимость никак не обосновывается. Таким образом, исходное уравнение решено при некотором дополнительном предположении, т.е. задача не решена.

Корректное решение задачи в этой теме есть, его дал sergey1. Все остальное, увы, не годится.

Upd. На всякий случай вот ссылка на еще одну коллекцию решений подобных задач: topic64424.html.

[nnosipov]

В принципе, идея в http://dxdy.ru/post26997.html#p26997 доводится до полного решения задачи. Рассмотрим технически более простой пример такого рода, а именно, уравнение $y^2=x^4-2x^3+x^2-2x+1$, которое будем решать в натуральных числах. Здесь $x$ должно быть четным, а $y$ нечетным (как показывает рассмотрение по $\bmod{4}$). Имеем

$$\frac{x^2}{2}=\frac{x^2-x+1-y}{2} \cdot \frac{x^2-x+1+y}{2},$$

откуда можно вывести, что сомножители справа взаимно просты и, следовательно, один из них имеет вид $u^2$, а другой $2v^2$, где $u$ и $v$ --- некоторые натуральные числа. Тогда $x=2uv$ и $x^2-x+1=u^2+2v^2$, так что

$$4u^2v^2-2uv+1=u^2+2v^2.\eqno(*)$$

Уравнение $(*)$ имеет в натуральных числах единственное решение $(u,v)=(1,1)$, что легко усмотреть, переписав уравнение в виде

$$1=\frac{1}{2uv}+\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{4v^2}-\frac{1}{4u^2v^2}$$

(если $u \geqslant 2$ или $v \geqslant 2$, то правая часть будет меньше единицы). Значит, $x=2$ и $y=1$ --- единственное решение исходного уравнения.

Следует отметить, что получившееся уравнение $(*)$ принадлежит к тому же типу, что и исходное уравнение (оба решаются с помощью оценок).