Решение краевой задачи в аналитическом виде

[Alm99]

Здравствуйте уважаемые форумчане! Подскажите пожайлуйста, каким образом можно решить следующую проблему:

Необходимо решить краевую задачу:

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\ t>0,\ 0<x<l,\ \left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\x=0\\\end{matrix}=0,\left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\x=l\\\end{matrix}=0,$

$\left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\t=0\\\end{matrix}=0,\left.\ \frac{\partial u}{\partial t}\right|\begin{matrix}\\t=0\\\end{matrix}=\left\{\begin{matrix}x,\ 0\le x<\frac{l}{2}\\l-x,\frac{l}{2}\le x\le l\ \\\end{matrix}\right.$

Вот привожу код решения поставленной задачи в Maple 2021:

Используется синтаксис Haskell

restart;
with(PDETools);
# Задаем наше ДУ и начальные, граничные условия
pde := diff(u(x, t), t, t) = a^2*diff(u(x, t), x, x);
ic := u(x, 0) = 0, D[2](u)(x, 0) = psi(x)
bc := u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

psi := piecewise(0 <= x and x <= l/2, x, l/2 <= x and x <= l, l - x)

# Разделяем переменные методом Фурье
res := pdsolve(pde, HINT = T(t)*X(x));
ode1 := op(1, op(1, op(2, res)))
ode2 := op(2, op(1, op(2, res)))
ode2 := subs(_c[1] = -lambda, ode2)

# Решаем два дифференциальных уравнения с учетом начальных условий
# уравнение относительно X(x)
dsolve({ode2, X(0) = 0}, X(x));
sin(sqrt(lambda)*l) = 0
solve(%, lambda, allsolutions)
lambda := (Pi*n/l)^2
X := (x, n) -> sin(Pi*n*x/l)

# уравнение относительно T(t)
ode1 := subs(_c[1] = -lambda, ode1);
dsolve({%, T(0) = 0}, T(t))
T := (t, n) -> C1[n]*sin(Pi*n*a*t/l)

# Записываем решение как сумму частных решений
Un := (x, t, n) -> T(t, n)*X(x, n);

u := (x, t) -> Sum(Un(x, t, n), n = 1 .. infinity);
'u(x, t)' = u(x, t);

# Определяем коэффициенты разложения исходя из начальных условий
simplify(subs(t = 0, diff(u(x, t), t)) = psi);

# В данном случае коэффициентами разложения функции psi(x) будут являться числа Pi*n*a*С1_n/l
((2/l)*l/(Pi*n*a)*int(psi*X(x, n), x = 0 .. l) assuming (x < l))
simplify(%) assuming n::posint;
combine(%);
C1[n] := factor(%);
 

Соответственно проблема состоит в том, что не получается никак с помощью последних команд

Используется синтаксис Haskell

((2/l)*l/(Pi*n*a)*int(psi*X(x, n), x = 0 .. l) assuming (x < l))
simplify(%) assuming n::posint;
combine(%);
C1[n] := factor(%);
 

получить необходимые коэффициенты и записать итоговое решение , после выполнения команд результат один и тот же:

$\frac{2 \left(\int_{0}^{l}\left(\left\{\begin{array}{cc} x & 0\le x \le \frac{l}{2} \\ l -x & \frac{l}{2}\le x \le l \end{array}\right.\right) \sin \! \left(\frac{\pi n x}{l}\right)d x \right)}{\pi n a} $

Может я неправильно что-то делаю, и возможно иначе получить коэффициенты, или Maple не может такое сделать? Тогда как? Wolfram? Потому что проинтегрировать вручную...

Прошу помощи, потому что не понимаю, в чем загвоздка! Заранее огромное спасибо!

[Alm99]

В принципе, этот интеграл можно ли вычислить в Maple?

${\int_{0}^{l}\left(\left\{\begin{array}{cc} x & 0\le x \le \frac{l}{2} \\ l -x & \frac{l}{2}\le x \le l \end{array}\right.\right) \sin \! \left(\frac{\pi n x}{l}\right)d x}$

[Red_Herring]

Alm99 в сообщении #1537135 писал(а):

Потому что проинтегрировать вручную..

Очень легко

[Alm99]

Red_Herring

Ну у меня в итоге получилось так, но я не уверен, в правильности найденного решения. Вот в чем вопрос? А в Maple можно получить результат в такой же форме?

$-\frac{2 l^{2} \left(-2 \sin \! \left(\frac{\pi n}{2}\right)+\sin \! \left(\pi n \right)\right)}{\pi^{3} n^{3} a} $

Как только определю коэффициент, так и смогу записать общее решение соответственно.

[Red_Herring]

Думаю, что неверно. Совет: сделать замену $x$, чтобы интервал стал $(-\frac{l}{2},\frac{l}{2})$ и рассмотреть при каких $n$ подынтегральное выражение будет четным/нечетным

[Alm99]

Red_Herring

С помощью Maple удалось получить коэффициенты разложения, и общее решение, но я не могу понять, каким образом получен такой результат... Почему я не могу просто разбить на два интеграла с разными пределами а потом сложить полученные решения?

$\mathit{C}_{1n} = \frac{4 l^{2} \sin \! \left(\frac{\pi n}{2}\right)}{\pi^{3} a \,n^{3}} $

Если рассматривать на интервале $(-l/2;l/2)$,то я получаю в результате

$-\frac{l^{2} \left(\left(-1\right)^{n}-1\right)}{2 \pi^{2} n^{2} a}$

И как я понимаю, это же одно и то же...

Не могли бы еще немного пояснить мне этот момент?

[Red_Herring]

Alm99 в сообщении #1537268 писал(а):

Почему я не могу просто разбить на два интеграла с разными пределами а потом сложить полученные решения?

Можете, но я предложил более простое вычисление. В любом случае, это материал 1го курса и если вы с ним справиться не можете, то до 3го вы не доросли.