2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение31.10.2021, 16:09 


17/03/20
183
Здравствуйте уважаемые форумчане! Подскажите пожайлуйста, каким образом можно решить следующую проблему:

Необходимо решить краевую задачу:

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\ t>0,\ 0<x<l,\ \left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\x=0\\\end{matrix}=0,\left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\x=l\\\end{matrix}=0,$

$\left.\ \begin{matrix}u\\\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}\\t=0\\\end{matrix}=0,\left.\ \frac{\partial u}{\partial t}\right|\begin{matrix}\\t=0\\\end{matrix}=\left\{\begin{matrix}x,\ 0\le x<\frac{l}{2}\\l-x,\frac{l}{2}\le x\le l\ \\\end{matrix}\right.$


Вот привожу код решения поставленной задачи в Maple 2021:

код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Haskell
restart;
with(PDETools);
# Задаем наше ДУ и начальные, граничные условия
pde := diff(u(x, t), t, t) = a^2*diff(u(x, t), x, x);
ic := u(x, 0) = 0, D[2](u)(x, 0) = psi(x)
bc := u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

psi := piecewise(0 <= x and x <= l/2, x, l/2 <= x and x <= l, l - x)

# Разделяем переменные методом Фурье
res := pdsolve(pde, HINT = T(t)*X(x));
ode1 := op(1, op(1, op(2, res)))
ode2 := op(2, op(1, op(2, res)))
ode2 := subs(_c[1] = -lambda, ode2)

# Решаем два дифференциальных уравнения с учетом начальных условий
# уравнение относительно X(x)
dsolve({ode2, X(0) = 0}, X(x));
sin(sqrt(lambda)*l) = 0
solve(%, lambda, allsolutions)
lambda := (Pi*n/l)^2
X := (x, n) -> sin(Pi*n*x/l)

# уравнение относительно T(t)
ode1 := subs(_c[1] = -lambda, ode1);
dsolve({%, T(0) = 0}, T(t))
T := (t, n) -> C1[n]*sin(Pi*n*a*t/l)

# Записываем решение как сумму частных решений
Un := (x, t, n) -> T(t, n)*X(x, n);

u := (x, t) -> Sum(Un(x, t, n), n = 1 .. infinity);
'u(x, t)' = u(x, t);

# Определяем коэффициенты разложения исходя из начальных условий
simplify(subs(t = 0, diff(u(x, t), t)) = psi);

# В данном случае коэффициентами разложения функции psi(x) будут являться числа Pi*n*a*С1_n/l
((2/l)*l/(Pi*n*a)*int(psi*X(x, n), x = 0 .. l) assuming (x < l))
simplify(%) assuming n::posint;
combine(%);
C1[n] := factor(%);
 


Соответственно проблема состоит в том, что не получается никак с помощью последних команд
Используется синтаксис Haskell
((2/l)*l/(Pi*n*a)*int(psi*X(x, n), x = 0 .. l) assuming (x < l))
simplify(%) assuming n::posint;
combine(%);
C1[n] := factor(%);
 

получить необходимые коэффициенты и записать итоговое решение , после выполнения команд результат один и тот же:
$\frac{2 \left(\int_{0}^{l}\left(\left\{\begin{array}{cc}
x  & 0\le x \le \frac{l}{2} 
\\
 l -x  & \frac{l}{2}\le x \le l  
\end{array}\right.\right) \sin \! \left(\frac{\pi  n x}{l}\right)d x \right)}{\pi  n a}
$


Может я неправильно что-то делаю, и возможно иначе получить коэффициенты, или Maple не может такое сделать? Тогда как? Wolfram? Потому что проинтегрировать вручную...

Прошу помощи, потому что не понимаю, в чем загвоздка! Заранее огромное спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение01.11.2021, 11:25 


17/03/20
183
В принципе, этот интеграл можно ли вычислить в Maple?

${\int_{0}^{l}\left(\left\{\begin{array}{cc}
x  & 0\le x \le \frac{l}{2} 
\\
 l -x  & \frac{l}{2}\le x \le l  
\end{array}\right.\right) \sin \! \left(\frac{\pi  n x}{l}\right)d x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение01.11.2021, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Alm99 в сообщении #1537135 писал(а):
Потому что проинтегрировать вручную..
Очень легко

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение01.11.2021, 12:14 


17/03/20
183
Red_Herring

Ну у меня в итоге получилось так, но я не уверен, в правильности найденного решения. Вот в чем вопрос? А в Maple можно получить результат в такой же форме?

$-\frac{2 l^{2} \left(-2 \sin \! \left(\frac{\pi  n}{2}\right)+\sin \! \left(\pi  n \right)\right)}{\pi^{3} n^{3} a}
$


Как только определю коэффициент, так и смогу записать общее решение соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение01.11.2021, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Думаю, что неверно. Совет: сделать замену $x$, чтобы интервал стал $(-\frac{l}{2},\frac{l}{2})$ и рассмотреть при каких $n$ подынтегральное выражение будет четным/нечетным

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение01.11.2021, 15:42 


17/03/20
183
Red_Herring

С помощью Maple удалось получить коэффициенты разложения, и общее решение, но я не могу понять, каким образом получен такой результат... Почему я не могу просто разбить на два интеграла с разными пределами а потом сложить полученные решения?

$\mathit{C}_{1n} = 
\frac{4 l^{2} \sin \! \left(\frac{\pi  n}{2}\right)}{\pi^{3} a \,n^{3}}
$


Если рассматривать на интервале $(-l/2;l/2)$,то я получаю в результате
$-\frac{l^{2} \left(\left(-1\right)^{n}-1\right)}{2 \pi^{2} n^{2} a}$


И как я понимаю, это же одно и то же...

Не могли бы еще немного пояснить мне этот момент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение краевой задачи в аналитическом виде
Сообщение02.11.2021, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Alm99 в сообщении #1537268 писал(а):
Почему я не могу просто разбить на два интеграла с разными пределами а потом сложить полученные решения?
Можете, но я предложил более простое вычисление. В любом случае, это материал 1го курса и если вы с ним справиться не можете, то до 3го вы не доросли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group