Переходный процесс в простейшей цепи

[Kevsh]

Я решил разобраться, откуда берутся формулы, данные нам для расчётов переходных процессов. То есть просто решить дифференциальные уравнения, без всяких заготовок. Есть вот такая простейшая цепь:


Правильный ответ: $i(t)=\frac{E}{R}-\frac{E}{R} e^{\frac{-tR}{L}}$
Я составил вот такое дифференциальное уравнение: $L\frac{di}{dt}+Ri=E$ и получил вот такой ответ: $i(t)=\frac{E}{R}-\frac{1}{R} e^{\frac{-tR}{L}}$, то есть решил, видимо, неверно.
Решение:
$L\frac{di}{dt}+Ri=E$
$L\int\frac{di}{E-Ri}=\int dt$
$\ln{(E-Ri)}=-\frac{tR}{L}$
$i=\frac{E}{R}-\frac{1}{R} e^{-\frac{tR}{L}}$
Где здесь может быть ошибка? Может быть потому что я не учитывал тут константу, которая получается после интегрирования?
В учебнике, по которому я начал заниматься, решают как раз дифференциальные уравнения. Нам же дают какие-то ухищрения, чтобы, видимо, их не решать. Сильно ли сложнее будет жить, если продолжить именно решать дифференциальные уравнения, без ухищрений?

[StaticZero]

Kevsh в сообщении #1536956 писал(а):

Может быть потому что я не учитывал тут константу, которая получается после интегрирования?

Ага. Вы всё-таки интегрируете не абы где, а по интервалу $[t_0, t]$.

[Kevsh]

StaticZero в сообщении #1536959 писал(а):

Kevsh в сообщении #1536956 писал(а):

Может быть потому что я не учитывал тут константу, которая получается после интегрирования?

Ага. Вы всё-таки интегрируете не абы где, а по интервалу $[t_0, t]$.

Я правильно понимаю, что по сути мы тут интегрируем от $0$ до $i$ и от $0$ до $t$, в результате в логарифме появится деление на $E$, оттуда и этот множитель, которого у меня нет?

[sergey zhukov]

Kevsh
Да, определенный интеграл - это же разность первообразных подынтегральной функции от двух пределов интегрирования. Вот и составьте эти разности.
У вас ответ очевидно неверный, т.к. экспонента всегда безразмерная, и у вас получается разность величин разных размерностей. Всегда проверяйте размерность в ответе, это позволяет быстро находить грубые ошибки.
Так же очень полезно рассматривать предельные случаи. Например: что будет в системе в самом начале, когда $t=0$? Или, что будет в системе, когда $t \to \infty$. Или когда один из параметров схемы $L, R$ и т.д. стремятся к $0$ или $\infty$.
Например, если в нашем случае $t=0$, то должно быть $i=0$, а у вас не так. Такие предельные проверки быстро выявляют все остальные ошибки в решении.

[DimaM]

Kevsh
Еще полезно заметить, что аргументом логарифма, синуса и тому подобных функций может быть только безразмерное выражение.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1536959 писал(а):

Ага. Вы всё-таки интегрируете не абы где, а по интервалу $[t_0, t]$.

Можно так, а можно, и даже более стандартно, и неопределенный интеграл брать. Но если неопределенный, то надо добавить еще константу, которая определяется из начальных условий. Вообще дифференциальное уравнение без начальных условий -- это ни о чем (в смысле конкретного ответа).

[zykov]

Alex-Yu в сообщении #1537038 писал(а):

Вообще дифференциальное уравнение без начальных условий -- это ни о чем

Это о семействе решений.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1537017 писал(а):

Еще полезно заметить, что аргументом логарифма, синуса и тому подобных функций может быть только безразмерное выражение.

Это так. Но также можно отметить, что для синуса или экспоненты это получается автоматически, если в исходных дифурах всё хорошо с размерностью,
а для логарифма это обеспечивается именно константой интегрирования.
Для положительных $x$
$\int\limits_{}^{} \frac{dx}{x} = \ln(x) + C_1$, где $C_1 \in (-\infty, \infty)$
можно записать так: $C_1 = - \ln(C_2)$, где $C_1 \in (0, \infty)$, тогда:
$\int\limits_{}^{} \frac{dx}{x} = \ln(x) - \ln (C_2) = \ln(\frac{x}{C_2})$, вот тут-то и получается безразмерное $\frac{x}{C_2}$, вместо размерного $x$

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1537042 писал(а):

Для положительных $x$
$\int\limits_{}^{} \frac{dx}{x} = \ln(x) + C_1$, где $C_1 \in (-\infty, \infty)$
можно записать так: $C_1 = - \ln(C_2)$, где $C_1 \in (0, \infty)$, тогда:
$\int\limits_{}^{} \frac{dx}{x} = \ln(x) - \ln (C_2) = \ln(\frac{x}{C_2})$, вот тут-то и получается безразмерное $\frac{x}{C_2}$, вместо размерного $x$

Я за то, чтоб всегда писать интеграл с пределами, чтоб получалось безразмерное выражение

$$\int\limts_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}=\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right).$$