Уточнение насчёт одной задачи

[garvett]

Я столкнулся со следующей задачей в учебнике Р.Куранта «Дифференциальное и Интегральное Исчисление» (формулировка не является цитатой):

Путём разбиения отрезка $[a;b]$ на подинтервалы (т.е. по определению определённого интеграла), найти значение интеграла

$$\int_{a}^{b}(x+1)^{\alpha}dx,$$

где $\alpha \in \mathbb{Z}$.

Сперва хочу отметить, что примеры, которые разобраны в учебнике, и наподобие которых я и должен решить эту задачу, избегали случая $\alpha = -1$ (оно и понятно, ведь в ответе к этой задаче записана формула, не имеющая смысла при данном значении $\alpha$; там тогда в целом должен выходить натуральный логарифм, который по учебнику ещё не был введён). Так что по сути я должен разобрать случай $\alpha \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\}$. Это я усвоил, однако уже указывает на то, что формулировка не является самой точной (ведь $\alpha$ теперь уже не просто произвольное целое число, как указано в формулировке задачи).

Однако проблема заключается в другом. Когда в примерах из учебника разбирался практически идентичный случай интеграла от

$$\int_{a}^{b}x^{\alpha}dx,$$

где, опять же, $\alpha \in \mathbb{Z}\setminus\{-1\},$ добавлялись ограничения $0 < a < b$ (без них приведённый в учебнике способ бы не сработал). И я не могу понять, стоит ли мне вводить схожие ограничения (у меня это $-1 < а < b$; эти ограничения, как и авторские, естественным образом вытекают из графических соображений), или мне всё-таки надо разбирать случаи взаимного расположения $a$ и $b$ относительно $-1$, стоит ли мне разбирать случай совпадения одного из концов отрезка с точкой $-1$ при неотрицательном $\alpha$? Ещё возникает вопрос при $\alpha = 0$, ведь в таком случае при совпадении одного из концов отрезка с точкой $-1$ на числовой прямой, возникает выражение $0^0$, которое до сих пор вызывает споры среди авторов учебников.

Общий вопрос: надо ли мне, наподобие того, как это сделал автор учебника, вводить (уже мной разобранный случай) ограничения $-1 < a < b$, или мне действовать самым общим и невероятно громоздким из всех способов (который я, к тому же, не совсем понимаю, как реализовать)?

[artempalkin]

garvett в сообщении #1536785 писал(а):

надо ли мне, наподобие того, как это сделал автор учебника, вводить (уже мной разобранный случай) ограничения $-1 < a < b$, или мне действовать самым общим и невероятно громоздким из всех способов (который я, к тому же, не совсем понимаю, как реализовать)?

Можете разобрать несколько случаев, там будет не слишком громоздко. Если у вас $-1\in[a;b]$, то интеграла Римана не существует (нет предела последовательности интегральных сумм при произвольных разбиениях $\Delta\to 0$ и произвольных точках на этих разбиениях). Остальные же случаи вы уже разобрали, как я понял.

[garvett]

artempalkin Однако предел-то может существовать если, например, $\alpha > 0$? Тогда мне придётся разбирать одновременно случаи для разных знаков степени.

[artempalkin]

garvett в сообщении #1536788 писал(а):

artempalkin Однако предел-то может существовать если, например, $\alpha > 0$? Тогда мне придётся разбирать одновременно случаи для разных знаков степени.

Ааа, это верно. Ну тогда сами решайте, разбирать или нет :)

Если $\alpha\geqslant 0$, то случай один, т.к. положение $-1$ не играет никакой роли.
Если $\alpha<0$ (исключая $-1$), то

artempalkin в сообщении #1536787 писал(а):

Если у вас $-1\in[a;b]$, то интеграла Римана не существует (нет предела последовательности интегральных сумм при произвольных разбиениях $\Delta\to 0$ и произвольных точках на этих разбиениях). Остальные же случаи вы уже разобрали, как я понял.

Рассматривайте только случай $-1<a<b$. Остальные ситуации потребуют от вас только очень специфических значений $\alpha$, что вряд ли подразумевалось.

[garvett]

artempalkin
Хорошо. Огромное спасибо за помощь!